Berechnen Sie diese Grenze ohne die Regel von L'Hôpital.

Question

Berechnung $$\lim_{x\to0}\frac{(x+32)^{1/5}-2}{x}$$ ohne die Herrschaft von L'Hôpital.

Mein Versuch: Ich habe zuerst den Ausdruck rationalisiert, um zu bekommen $$\left(\frac{(x+32)^{1/5}-2}{x}\right)\left(\frac{(x+32)^{1/5}+2}{(x+32)^{1/5}+2}\right)=\frac{x+28}{x((x+32)^{1/5}+2)}$$ Wie soll ich den Singular loswerden? $x$jetzt im Nenner? Soll ich hier etwas berücksichtigen?

Answer 1

Lassen $y=(x+32)^{1/5}$. Sie können das Limit als schreiben$\lim_{y \to 2} \frac {y-2} {y^{5}-2^{5}}$. Es ist einfach, diese Grenze mit der Formel aufzuschreiben$y^{5}-2^{5}=(y-2)(y^{4}+2y^{3}+2^{2}y^{2}+2^{3}y+2^{4})$

Answer 2

Betrachten Sie die Funktion $f(x) = (x+32)^{1/5}$. Per Definition,$f'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{(x+32)^{1/5} - 2}{x}$.

Anhand der Potenz- und Kettenregeln zur Differenzierung können Sie dies zeigen $f'(x) = \dfrac{1}{5}(x+32)^{-4/5}$ wo $x \neq -32$.

Deshalb, $\lim_{x \to 0} \dfrac{(x+32)^{1/5} - 2}{x} = f'(0) = \dfrac{1}{80}$.

Answer 3

Hinweis.

Herstellung $x+32=y^5$ wir haben

$$ \lim_{y\to 2}\frac{y-2}{y^5-32} $$

Answer 4

$$L=lim_{x \to 0} \dfrac{(x+32)^{\frac{1}{5}}-2}{x}$$

$$L=lim_{x \to 0} \dfrac{(x+32)^{\frac{1}{5}}-32^{\frac{1}{5}}}{(x+32) -32}$$

Deshalb,

$$L=\frac{1}{5} \cdot 32^{\frac{-4}{5}}=\frac{1}{5 \cdot 2^4}$$

Answer 5

Wenn Sie einen detaillierten Beweis wünschen:

$\dfrac{(2^{5}(\frac{x}{32}+1))^{\frac{1}{5}}-2}{x}=\dfrac{2(\frac{x}{32}+1)^\frac{1}{5}-2}{x}$

$(1+x)^n=1+nx+\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot x^2.....$

$\lim_{x\to0}=\dfrac{2\bigg(1+\frac{1}{5}\frac{x}{32}+\dfrac{\frac{1}{5}(\frac{1}{5}-1)}{2}\cdot\bigg(\frac{x}{32}\bigg)^2.....\bigg)-2}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\frac{2x}{5\cdot32}+...}{x}=\dfrac{2}{5\cdot 32}$

Answer 6

Lassen $\sqrt[5]{x+32}-2=y\implies x+32=(2+y)^5$ und $x\to0\implies y\to0$ finden

$$\lim_{x\to0}\frac{(x+32)^{0.2}-2}{x}$$

$$=\lim_{y\to0}\dfrac y{(2+y)^5-32}$$

$$=\lim_{y\to0}\dfrac y{\binom51y\cdot2^4+\binom52y^2\cdot2^3+\binom53y^3\cdot2^2+\binom51y^4\cdot2+y^5}$$ $$=?$$