Berechnen von Reihenentwicklungen innerhalb einer Matrix: Matrix exponentiell
Ich habe ein$(3 \times 3)$Matrix$$ Y = \begin{pmatrix} 0 & - e^{-i \theta} & 0 \\ e^{i \theta} & 0 & - e^{-i \theta} \\ 0 & e^{i \theta} & 0 \end{pmatrix} $$für die ich die exponentielle Matrix berechnen möchte$\exp(t Y) = I + t Y + \frac{t^2 Y^2}{2!} + \ldots $Wenn ich es zulasse$z : = e^{i \theta}$, Ich habe$$ Y^2 = \begin{pmatrix} - |z|^2 & 0 & |z|^2 \\ 0 & -2 |z|^2 & 0 \\ |z|^2 & 0 & - |z|^2 \end{pmatrix} \\ Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \overline{z} |z|^2 & 0 \\ |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & -2z |z|^2 & 0 \end{pmatrix} $$Und$$ Y^4 = \begin{pmatrix} - \overline{z} |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & - \overline{z} |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & 4 |z|^4 & 0 \\ z |z|^2 (-z- \overline{z}) & 0 & z |z|^2 (z+ \overline{z}) \end{pmatrix}. $$Einstellung$|z| = 1$und Berechnen der Exponentialmatrix über der fünften Potenz$Y^5$, Ich habe$$ \begin{pmatrix} 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (2 \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 4 \overline{z} + \ldots & \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots \\ tz - \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) + \frac{t^5}{5!} 2 (z + \overline{z}) + \ldots & 1 - \frac{2 t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} 4 + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 2 ( z+ \overline{z}) + \ldots \\ \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots & tz - \frac{t^3}{3!} 2 z + \frac{t^5}{5!} 4 z + \ldots & 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots \end{pmatrix} $$Ich denke, ich muss es mit Hilfe von umschreiben können$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots$Und$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots$.
Wenn ich mir zum Beispiel das ansehe$a_{22}$Begriff oben, ich sehe, dass es fast ist$\cos(t)$, außer den numerischen Faktoren, die nicht funktionieren. Auch der$a_{11}$Begriff ist fast$\cos(t)$, außer es erscheint ein Begriff$\overline{z} (z+ z)$ab der vierten Potenz, und das Gleiche gilt für die$a_{33}$Begriff mit$z$Und$\overline{z}$geschaltet. Der$a_{32}$Begriff scheint zu sein$z \sin(t)$, aber auch hier funktionieren die numerischen Koeffizienten nicht.
Frage: Erkennt jemand das Muster in diesen Einträgen (dh der Reihe) und kann die Exponentialmatrix berechnen?$e^{tY}$in geschlossener Form?
Außerdem, was wäre eine exponentielle Matrix?$\exp(tZ)$der „Verallgemeinerung“$$Z = \begin{pmatrix} 0 & - \overline{z} & - \overline{z} \\ z & 0 & - \overline{z} \\ z & z & 0 \end{pmatrix} $$mit$z = e^{i \theta}$nochmal?
Antworten
Einstellung$z = e^{i \theta}$ist eine gute Idee. Etwas klarer wird es, wenn$(- e^{-i \theta})$wird ersetzt durch$-1/z$anstatt$-\overline z$(Und es macht das Ergebnis auch für komplexe korrekt$\theta$).
Also haben wir$$ Y = \begin{pmatrix} 0 & -1/z & 0 \\ z & 0 & -1/z \\ 0 & z & 0 \end{pmatrix} $$und die ersten Mächte sind$$ Y^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1/z^2 \\ 0 & -2 & 0 \\ z^2 & 0 & -1 \end{pmatrix}\, , \, Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2/z & 0 \\ -2z & 0 & 2/z \\ 0 & -2z & 0 \end{pmatrix}\,. \\ $$Das kann man sehen$\boxed{Y^3 = -2Y}$, was die Berechnung aller Potenzen ermöglicht$Y^n$bezüglich$Y$oder$Y^2$:$$ Y^{2k+1} = (-2)^{k} Y \\ Y^{2k+2} = (-2)^{k} Y^2 $$für$k \ge 1$. Deshalb$$ \begin{align} \exp(tY) &= I + \left(t-\frac{2t^3}{3!} + \frac{2^2t^5}{5!} - \frac{2^3t^7}{7!} + \ldots\right)Y \\ &\quad + \left(\frac{t^2}{2!} - \frac{2t^4}{4!} + \frac{2^2t^6}{6!} - \frac{2^3t^8}{8!} + \ldots \right)Y^2 \\ &= I + \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}Y + \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right)Y^2 \, . \end{align} $$
Der allgemeine Fall wird in „Berechnen der Exponentialmatrix der Cayley-Hamilton-Methode : If“ beschrieben$A$ist ein$n$-dimensionale quadratische Matrix und$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$die Nullstellen der charakteristischen Gleichung$\det(\lambda I - A) = 0$, Dann$$ \exp(tA) = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k A^k $$Wo$\alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1}$sind die Lösungen des linearen Gleichungssystems$$ e^{\lambda_i t} = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k \lambda_i^k \, , \, 1 \le i \le n \, . $$
In unserem Fall$\det(\lambda I - Y) = \lambda^3 + 2 = 0$hat die Nullen$\lambda_1 = 0$,$\lambda_2 = i\sqrt 2$,$\lambda_3 = -i \sqrt 2$. Das lineare Gleichungssystem ist$$ \begin{align} 1 &= \alpha_0 \\ e^{i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 + i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \\ e^{-i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 - i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \end{align} \, . $$Die Lösung ist$$ \alpha_0 = 1, \, \alpha_1 = \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}, \, \alpha_2 = \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right) $$Bestätigung des Ergebnisses für$\exp(tY)$das wir oben erhalten haben.