Berechnung des Becherprodukts aus abgeleiteten Grenzwerten / Presheaf-Kohomologie

Question

Ich habe eine endliche Kategorie $\mathcal{C}$zusammen mit einem Funktor $F \colon \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{GradedCommRings}$. Wenn$F_j$ ist $j$-th benotetes Stück von $F$dann schreibe ich $H^i(\mathcal{C},F_j)$ für die $i$-th abgeleitete inverse Grenze des Diagramms $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$von abelschen Gruppen. Gleichermaßen ist es das$i$-th Garbenkohomologie der Garbe $F_j$, wo ich betrachte $\mathcal{C}$ als Site mit trivialer Grothendieck-Topologie.

Ich habe die verschiedenen berechnet $H^i(\mathcal{C},F_j)$. Beim Zusammenbau sollte es eine Tassenproduktstruktur geben$H^i(\mathcal{C},F_j) \otimes H^{i'}(\mathcal{C},F_{j'}) \to H^{i+i'}(\mathcal{C},F_{j + j'})$. Ich möchte diese Produktstruktur berechnen.

Die einzige mir bekannte Methode ist die Garbenkohomologie, die explizite Auflösungen, Tensorprodukte und Gesamtkomplexe umfasst (siehe [1]). Leider habe ich keine explizite Auflösung von$F$ oder $F \otimes F$: es scheint zu kompliziert, von Hand zu tun, vor allem, weil meine $F(c)$werden typischerweise unendlich erzeugt. (In meiner Berechnung von$H^i(\mathcal{C},F_j)$ Ich habe dies umgangen, indem ich Spektralsequenzen verwendet habe, die jedoch die Produktstruktur verdecken.)

Ich werde zu folgenden Fragen geführt:

• Kennt jemand eine effizientere Methode zur Berechnung von Becherprodukten der Presheaf-Kohomologie / abgeleiteten Grenzwerten?
• Wenn nicht, gibt es Computersoftware, die möglicherweise einige der oben beschriebenen Aufgaben übernehmen kann?

[1]: RD Swan. Becherprodukte in Garbenkohomologie, reine Injektionen und ein Ersatz für projektive Auflösungen.

Answer 1

Cup-Produkte in der Garben- (und Presheaf-) Kohomologie lassen sich häufig leicht berechnen, indem die Quelle (z. B. in der projektiven Modellstruktur) und nicht das Ziel aufgelöst wird. Ein Beispiel für die Auflösung der Quelle auf diese Weise finden Sie unter Die Yoneda-Paarung, Hyperkohomologie und das Becherprodukt

Im betrachteten Fall kann man die Kategorie der Vorspannungen von Kettenkomplexen auf C mit einer projektiven Modellstruktur ausstatten. Letzterer verfügt über einen expliziten Cofibrant-Ersatz-Funktor, mit dem eine explizite projektive Auflösung notiert werden kann. Der Cofibrant-Ersatz-Funktor ist genau die klassische Stabkonstruktion, die auf die Adjunktion zwischen Vorspannungen von Kettenkomplexen auf C- und Ob (C) -indizierten Kettenkomplexen angewendet wird.