Bestimmen Sie das minimale Polynom von $\alpha = 1 + 3^{1/3} + 9^{1/3}$ Über $\mathbb{Q}$. Was ist$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$?
Bestimmen Sie das minimale Polynom von $\alpha = 1 + 3^{1/3} + 9^{1/3}$ Über $\mathbb{Q}$. Was ist$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$?
Ich habe versucht, neu zu ordnen $\alpha$ in einer Weise dass $f(\alpha) = 0$kann diesen Teil aber nicht herausfinden. Wenn ich nehme$(a-1)^3 = (3^{1/3} + 3^{2/3})^3$, es hört nicht auf. Ich kann die Macht nicht loswerden$1/3$.
Ich habe es auch versucht $\alpha = (1+3^{1/3})^2 - 3^{1/3}$ funktioniert aber auch nicht.
Ist mein Ansatz falsch?
Antworten
Hier ist eine andere Einstellung, die nicht auf algebraischen Manipulationen beruht.
$\mathbb{Q}(3^{1/3})$ hat Abschluss $3$ Über $\mathbb{Q}$mit Basis $\{1, 3^{1/3},9^{1/3}\}$.
Das minimale Polynom von $\alpha$ ist das minimale Polynom der linearen Transformation $x \mapsto \alpha x$. Dieses Polynom kann unter Verwendung seiner Matrix in Bezug auf die obige Basis berechnet werden: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$ Das charakteristische Polynom dieser Matrix ist $x^3 - 3 x^2 - 6 x - 4$. Dieses Polynom ist über irreduzibel$\mathbb Q$ weil es grad hat $3$ aber keine rationale Wurzel (*), und so ist das minimale Polynom von $A$ und damit von $\alpha$. Deshalb,$\alpha$ hat Abschluss $3$ und so $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(3^{1/3})$.
(*) Verwenden Sie hier den rationalen Wurzelsatz.
Hinweis:
$$(\alpha-1)^3=(3^{1/3}+3^{2/3})^3$$
$$\implies\alpha^3-3\alpha^2+3\alpha-1=3+3^2+3(3^{1/3}\cdot3^{2/3})(\alpha-1)$$
Alternative,
$$\alpha=\dfrac{(3^{1/3})^3-1}{3^{1/3}-1}$$
$$\iff3^{1/3}=?$$
Nehmen Sie nun den Würfel auf beiden Seiten