Beweis, dass eine Funktion genau dann konvex ist, wenn sie diese Bedingung erfüllt?

Question

Wie man beweist, dass eine Funktion f: R-> R genau dann konvex ist, wenn dom (f) konvex ist und für jedes a, b, c in seiner Domäne $a<b<c$, wir haben:

Determinante der Matrix: $$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ f(a) & f(b) &f(c) \end{vmatrix}\ge 0. $$

Determinante ist:

$$ bf(c)-cf(b)+cf(a)-af(c)+af(b)‐bf(a) >= 0$$

Dann:

$$ f(a)(c-b) + f(b)(a-c) + f(c)(b-a) >=0$$

Dann können wir nach a <b <c sagen:

$$ f(a)(c-b) + f(c)(b-a) >= f(b)(c-a)$$ [bearbeitet]

Also bin ich bis hierher gegangen, aber ich weiß nicht, wie ich das mit der Ungleichung von Jensen verbinden soll, um zu beweisen, dass f konvex ist.

Answer 1

Sie brauchen fast keine Schritte mehr, um darüber hinauszugehen. Die Definition der Konvexität einer Funktion umfasst Folgendes:$$ f(\theta x+(1-\theta)y)\le \theta f(x)+(1-\theta)f(y) $$ Versuchen Sie nun, die letzte Ungleichung, mit der Sie erhalten haben, neu anzuordnen $x=a$, $y=c$ und eine richtige Wahl von $\theta$.