Beweis einer Funktion$\pi$aus$U(q) \to U(q')$dran sein

Aug 16 2020

Diese spezielle Frage wurde in meinem abstrakten Algebra-Quiz gestellt und ich konnte sie nicht lösen.

Lassen$q ,q' \in \mathbb{N} $und lass$q'\mid q$. Lassen$U(m)$bezeichnen die multiplikative Gruppe von Restklassen, die teilerfremd sind$m$. Lassen$\pi: U(q) \to U(q')$so sein, wenn$a \in U(q)$,$\pi(a)$ist einzigartiges Element in$U(q')$so dass$a \equiv \pi(a) \pmod {q'}$.

Dann zeig das$\pi$ist dran.

Versuch - ich war verwirrt. Das kann ich nur zeigen$a$ist nicht Null als$a$gehört$U(q)$und$a \not \equiv 0 \pmod {q'}$wie$\pi(a) \not \equiv 0 \pmod {q'}$. Aber offensichtlich reichen sie dann nicht aus, um sich zu beweisen.

Bitte geben Sie nur einige Hinweise. Rest Ich würde gerne alleine arbeiten.

Antworten

2 FabioLucchini Aug 15 2020 at 23:55

Tipp: Lass$y\in\Bbb Z$so dass$\gcd(y,q')=1$. Nach dem chinesischen Restsatz existiert$k\in\Bbb Z$so dass$y+kq'\equiv 1\pmod p$für jeden Primteiler$p$von$q$was sich nicht teilt$q'$.


Detaillierter Beweis: Let$P$sei die Menge der Primteiler von$q$was sich nicht teilt$q'$. Nach dem chinesischen Restsatz existiert$k\in\Bbb Z$so dass$$k\equiv(1-y)q'^{p-2}\pmod p$$für jeden$p\in P$. Für jeden$p\in P$, aus$p\nmid q'$folgt$q'^{p-1}\equiv 1\pmod p$, somit$y+kq'\equiv 1\pmod p$.

Beachten Sie, dass$\gcd(y+kq',q)=1$. Für lassen$p$ein Primteiler von sein$\gcd(y+kq',q)$. Dann$p|q$. Wenn$p|q'$, dann$p|y$was widerspricht$\gcd(y,q')=1$. Ansonsten, wenn$p\nmid q'$, dann$p\in P$, somit$y+kq'\equiv 1\pmod p$was widerspricht$p|(y+kq')$.

Wenn$\bar x$bezeichnen die Restklasse von$y+kq'$modulo$q$und$\bar y$die Rückstandsklasse von$y$modulo$q'$, dann$\bar x\in U(q)$und$\bar y=\pi(\bar x)$.

1 ne3886 Sep 23 2020 at 17:20

Wir betrachten drei Fälle:

  1. $′ = ^{\alpha},\, =^{\beta},\quad \alpha\leq\beta,\, \text{ prime}$

  2. $q' = p_1^{\alpha_1}\ldots p_r^{\alpha_r},\, q' = p_1^{\beta_1}\ldots p_r^{\beta_r},\quad \alpha_i \leq \beta_i,\, p_i \text{ prime}$

  3. $q' = q_1,\, q = q_1q_2,\quad gcd(q1,q2) = 1$

  • Fall 1: Let$a\in\mathbb{Z}$:$$a + p^{\alpha}\mathbb{Z} \in U\left(p^{\alpha}\right) \iff gcd(a,p^{\alpha}) = 1 \iff gcd(a, p) = 1 \iff gcd(a, p^{\beta}) = 1 \iff a + p^{\beta}\mathbb{Z}\in U\left(p^{\beta}\right)$$wir haben$\pi\left(a+p^{\beta}\mathbb{Z}\right)=a+p^{\alpha}\mathbb{Z}$

  • Fall 2: nach chinesischem Restsatz:\begin{align*} \mathbb{Z}/q'\mathbb{Z} &\simeq \prod_{i=1}^{r}\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_i}\mathbb{Z}\\ \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} &\simeq \prod_{i=1}^{r}\mathbb{Z}/p_i^{\beta_i}\mathbb{Z} \end{align*}

Also\begin{align*} U(q') &\simeq \prod_{i=1}^{r}U(p_i^{\alpha_i})\\ U(q) &\simeq \prod_{i=1}^{r}U(p_i^{\beta_i}) \end{align*}jeder$\pi_{i}: U(p_i^{\beta_i}) \to U(p_i^{\alpha_i})$ist surjektiv so ist$\pi = \pi_{1}\times\ldots\times\pi_{r}$.

  • Fall 3: Let$a\in\mathbb{Z}$st$a+q_1 \mathbb{Z}\in U(q_1)$. So$gcd(a,q_1) = 1$Die gleichung$$na -mq_1 = 1,\quad m,n\in\mathbb{Z} \text{ unknown}$$gibt Lösungen zu:\begin{align*} n &= n_0 + q_1 t\\ m &= m_0 + a t\\ t &\in \mathbb{Z} \end{align*}wo$n_0, m_0$sind spezielle Lösung der Gleichung.

Wir wollen eine Lösung für die Gleichung finden:$$n'(a - sq_1) - m'q_1q_2 = 1$$ $$n',m', s \in \mathbb{Z} \text{ unknown}$$

die erste Gleichung ist äquivalent zu$n' a -q_1(sn' + m'q_2) = 1$Also\begin{align*} n' &= n_0 + q_1 t\\ m'q_2 &= m_0 - sn_0 +(a - sq_1)t \end{align*} $gcd(q_1,q_2) = 1$also die Zuordnung\begin{align*} \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}\\ \bar{s} &\mapsto a -q_1\bar{s} \end{align*}ist injektiv, also ist es surjektiv; es existiert$s_0\in\mathbb{Z}$st$gcd(q_2, a - q_1s_0) = 1$. Wir stellen$\alpha = a - q_1s_0,\, \beta = m_0 - s_0 n_0$Mit dem gleichen Argument die Zuordnung:\begin{align*} \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}\\ \bar{t} &\mapsto \beta + \alpha\bar{t} \end{align*}ist surjektiv, also die Gleichung$m'q_2 = m_0 - sn_0 +(a - sq_1)t$Lösungen zulässt$m_0^{\prime}, t_0$. Schließlich setzen wir$n_0^{\prime} = n_0 + q_1 t_0$, also haben wir eine bestimmte Lösung gefunden$s_0, n_0^{\prime}, m_0^{\prime}$zur Gleichung$$n'(a - sq_1) - m'q_1q_2 = 1$$wir stellen$b = a -s_0 q_1$; wir haben$b\in U(q_1q_2)$und$\pi\left(b+q_1q_2\mathbb{Z}\right) = a + q_1\mathbb{Z}$; so haben wir es bewiesen$\pi$ist surjektiv.

konzeptionell haben wir bewiesen, dass die drei Diagramme Kommutative sind

wo$cr_{\star}$sind Isomorphismen, die durch den chinesischen Restsatz gegeben sind, also leiten wir die Surjektion des gewünschten Homomorphismus aus der Surjektivität der anderen ab