Beweise das $(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})…(1+\frac{1}{n^3})<3$ [Duplikat]
Ich habe versucht, Induktion zu verwenden, aber nachdem ich angenommen habe, dass P (n) wahr ist, kann ich nicht weiter gehen, um zu beweisen, dass P (n + 1) auch wahr ist. Ich habe auch versucht, eine mittlere Ungleichung zu finden, aber ich kann nicht herausfinden, von welcher Ungleichung ich ausgehen soll.
Etwas, das nützlich schien, war, P (n) zu nehmen und es mit zu multiplizieren $(1+\frac{1}{(n+1)^3})$, deshalb bin ich dazu gekommen
$(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})...(1+\frac{1}{n^3})<3 | \times(1+\frac{1}{(n+1)^3})$
$(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})...(1+\frac{1}{n^3})(1+\frac{1}{(n+1)^3})<3(1+\frac{1}{(n+1)^3})$
aber wie sich jeder vorstellen kann, bin ich zum Widerspruch gekommen, weil ich versucht habe, das zu beweisen $3(1+\frac{1}{(n+1)^3})<3$ das ist falsch.
Jede Hilfe wäre nützlich.
Antworten
Die Tatsache nutzen $1+x\le e^x$ für alle echt $x,$ wir haben $$\left(1+ \frac{1}{1^3}\right)\left(1+\frac{1}{2^3}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\le \dfrac{9}{4}\exp\left(\sum_{k=3}^{n}\dfrac{1}{k^3}\right).$$Nutzen Sie nun die Tatsache, dass$$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^3}\lt\dfrac{\pi^2}{7}.$$