Beweisen oder widerlegen Sie grundlegende Fakten über eine subvergent (erfundene Definition) Reihe
Ich lerne selbst eine echte Analyse Understanding Analysis
von Stephen Abbot. Ich möchte fragen, ob ich die richtigen Schlussfolgerungen für die folgenden Aussagen über eine subvergent (erfundene Definition) Reihe abgeleitet habe.
$\newcommand{\absval}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$
Definition . Nehmen wir an, eine Reihe wird unterlaufen, wenn die Folge von Teilsummen eine konvergierende Teilsequenz enthält.
Betrachten Sie diese (erfundene) Definition für einen Moment und entscheiden Sie dann, welche der folgenden Aussagen gültige Aussagen über subvergente Reihen sind:
(a) Wenn $(a_n)$ ist dann begrenzt $\sum a_n$ subverges.
(b) Alle konvergenten Reihen sind subvergent.
(c) Wenn $\sum \absval{a_n}$ dann untergräbt $\sum a_n$ subverges auch.
(d) Wenn $\sum a_n$ dann untergräbt $(a_n)$ hat eine konvergente Teilfolge.
Beweis. (a) Dieser Satz ist falsch. Betrachten Sie als Gegenbeispiel die Reihenfolge$(a_n):=1$. Die Reihenfolge der Teilsummen ist$s_1 = 1, s_2 = 2, s_3 = 3, \ldots, s_n = n,\ldots$. Keine Folge von$(s_n)$konvergiert. So,$\sum {a_n}$ ist nicht subvergent.
(b) Da die Reihe konvergent ist, konvergiert die Folge der Teilsummen, und daher konvergiert auch jede Teilfolge von Teilsummen gegen dieselbe Grenze. Somit sind alle konvergenten Reihen subvergent.
(c) Ich denke, dieser Satz ist wahr. Lassen$(s_n)$ sei die Folge von Teilsummen der Absolutwerte und $(t_n)$ sei die Folge von Teilsummen der Reihe $\sum a_n$.
Per Definition der Subvergenz gibt es eine Subsequenz $(s_{f(n)})$ von $(s_n)$das konvergiert. Nehmen Sie ohne Verlust der Allgemeinheit an$(s_{2n})$ist eine solche konvergente Teilsequenz. Dann gibt es eine$N \in \mathbf{N}$ so dass, \begin{align*} \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m + 4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}} < \epsilon \end{align*}
für alle $n > m \ge N$.
Mit dieser Tatsache können wir eine schöne Ungleichung für die Teilsequenz schreiben $(t_{2n})$. \begin{align*} \absval{t_{2n} - t_{2m}} &= \absval{a_{2m+2} + a_{2m+4} + \ldots + a_{2n}}\\ &\le \absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}\\ &\le \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}}\\ &< \epsilon \end{align*}
für alle $n \ge N$.
Wie oben gilt für alle Teilsequenzen $(s_{f(n)})$ wo $f(n):\mathbf{N} \to \mathbf{N}$ ist eine Bijektion, $\sum a_n$ ist subvergent.
(d) Ich kann mir kein Gegenbeispiel dafür vorstellen.
Antworten
- Für a) ist Ihr Beweis in Ordnung
- Für b) auch ok
- Für c) hätte ich geschrieben:
Lasst uns $a_n^+=\max \{0, a_n\}$ und $a_n^- = \max \{0, -a_n\}$ für alle $n$.
Dann für alle $n$, $|a_n|=a_n^+ + a_n^-$ und $a_n = a_n^+ - a_n^-$.
Schon seit $\sum |a_n|$ ist subvergent und $0\leqslant a_n^+ \leqslant |a_n|$ und $0\leqslant a_n^- \leqslant |a_n|$, wir haben das $\sum a_n^+$ und $\sum a_n^-$ sind subvergent, also die Summe $\sum a_n$ ist subvergent.
(Die Tatsache, dass wenn $\sum u_n$ konvergiert mit $(u_n)$ positiv, dann für alle $(v_n)$ positiv, so dass $\forall n,v_n\leqslant u_n$ Subverges hätten einen Beweis verdient, aber es ist nicht so schwierig)
- Für d) definiere ich $(a_n)$ so dass für $n\geqslant 0$,
$a_{2n} = -n$ und $a_{2n+1} = n + \frac{1}{n^2}$.
Dann $\sum a_n$ konvergiert seit (wenn wir bemerken $S_n = \sum\limits_{k=0}^n a_n$) $S_{2n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ konvergiert wann $n\rightarrow +\infty$.
Aber wir haben eindeutig keine konvergierende Teilfolge.