Beweisen Sie diese Struktur $(Q/{0}; =;*)$ hat unendlich viele Automorphismen

Question

Beweisen Sie diese Struktur $(Q/{0}; =;*)$ hat unendlich viele Automorphismen Ich denke, es geht darum, dass wir keine haben $<$ oder $>$Also haben wir keine strenge Strukturordnung, damit wir tun können, was wir wollen? aber ich weiß nicht, wie ich es formeller sagen soll /

Answer 1

Hinweis : Nehmen Sie eine beliebige Permutation (dh Bijektion zu sich selbst) der Menge der Primzahlen$P$:: $\phi:P\to P$. Ordnen Sie nun jede rationale Zahl zu$q=\pm p_1^{\lambda_1}\cdots p_n^{\lambda_n}$, wo $\lambda_1,\ldots\lambda_n\in\mathbb Z$ in $\pm \phi(p_1)^{\lambda_1}\cdots \phi(p_n)^{\lambda_n}$. Beweisen Sie, dass diese Karte ein Automorphismus ist.