Beweisen Sie diesen Umfang des Dreiecks $MNC$ ist gleich dem halben Umfang des Dreiecks $ABC$

Aug 16 2020

Im $ABC$ gleichseitiges Dreieck. $K$ ist der Mittelpunkt von $AB$. $M$ und $N$ liegen auf $AC$ und $BC$beziehungsweise. Wenn$\angle MKN=60°$, dann beweisen Sie den Umfang von $\triangle MNC$ ist gleich dem halben Umfang von $\triangle ABC$.

Antworten

2 cr001 Aug 16 2020 at 13:18

Schauen Sie sich zuerst das linke Bild an.

Spiegel $N$ in Gedenken an $CK$, Kümmer dich nicht darum $N'$. Das merken wir$\angle CN'N=\angle MKN=60^{\circ}$. Deshalb$MKNN'$sind zyklisch. Deshalb$\triangle MKN$Spiegelbild in Bezug auf $CK$ teilt den gleichen Kreis mit $\triangle MKN$. Daher das Zentrum von$\triangle MKN$Der Kreis liegt auf $CK$.

Zeichnen Sie nun Winkelhalbierende von $\angle CMN, \angle CNM$ und lass sie sich treffen bei $I$. Offensichtlich$I$ liegt auf der dritten Winkelhalbierenden $CK$. Schon seit$\angle MIN=120^{\circ}$, $M,K,N,I$sind zyklisch. Darüber hinaus wissen wir, kombiniert mit dem Ergebnis aus dem vorherigen Absatz$IK$ist ein Durchmesser dieses Kreises. Deshalb$\angle IMK=\angle INK=90^{\circ}$.

Daher $MK$ halbiert den äußeren Winkel $\angle AMN$ und $NK$ halbiert den äußeren Winkel $\angle BNM$.

Schauen Sie sich jetzt das rechte Bild an. Zeichnen Sie den Kreis tangential zu$AM,MN,NB$ und lass sein Zentrum sein $O$. Wir werden das bemerken$MO$ halbiert den Winkel $AMN$ und $NO$ halbiert den Winkel $BNM$ damit $O$ und $K$ sind im Wesentlichen der gleiche Punkt.

Jetzt ist es leicht, den Umfang von zu sehen $\triangle CMN$ ist das gleiche wie $CP+CQ$, das ist die Hälfte des Umfangs von $\triangle ABC$. (Weil$AP={1\over 2} AK={1\over 4}AB$ und so auch $BQ$)

UalibekNurgulan Aug 16 2020 at 13:19

Ich glaube, ich habe das Problem gelöst, Leute!

Nehmen wir den Punkt $P$ zur Seite $BC$ wo $\angle NKP=60°$. Dann nimm Punkt$T$ an der PK Linie wo $PK=KT$. Dreiecke$BKP$ und $ATK$sind kongruent. Damit$\angle TAK=60°=\angle KBP$. Beachte das$AMKT$ist ein Kreis. Damit$\angle TAK=\angle TMK$. So$TMK$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

Jetzt können wir sicher sein, dass Dreiecke $MKN$ und $NKP$sind kongruent. Damit$MN=NK$. Durch den Satz von Ptolemäus erhalten wir das$AM+AT=AK$. Vergiss das auch nicht$BP=AT$.

$CM+AM+AK=CM+2AK-AT=CM+BC-BP=CM+CP=CM+CN+NP=CM+CN+MN$.