Borel-Sets gegen Baire-Sets

Question

(1) Angenommen, ich habe einen kompakten Hausdorff-Raum $X$mit einer zählbaren Basis. Warum ist die Borel-Algebra$\mathcal{B}(X)$ (das $\sigma$-Feld, das durch die offenen Mengen erzeugt wird) und die Baire-Algebra $\mathcal{B}a(X)$ (das $\sigma$-Feld vom Kompakten erzeugt $G_\delta$setzt) ​​gleich? Wo finde ich einen Beweis dafür?

(2) Nehmen wir jetzt an, dass $X$hat eine unzählige Basis. In diesem Fall,$\mathcal{B}(X)$ und $\mathcal{B}a(X)$fallen nicht mehr zusammen, und ich weiß, dass die Berücksichtigung der Baire-Sets einige Pathologien der Borel-Sets vermeidet. Was sind diese Pathologien? Was wäre ein Beispiel für ein Borel-Set, das nicht Baire ist?

Answer 1

Um im ersten Fall zu sehen, dass Baire-Sätze und Borel-Sätze zusammenfallen, genügt es zu beachten, dass die Generierungssätze für die Baire-Sätze (kompakt) sind $G_\delta$) sind immer Borel (kompakt impliziert in Hausdorff-Räumen geschlossen), so dass Baire $\subseteq$Borel leicht. Und wenn$O$ ist offen wir können es als eine zählbare Vereinigung von kompakten schreiben $G_\delta$ Sets, also sind alle offenen Sets im Baire $\sigma$-Feld, also sind auch alle Borel-Sets. (Zweiter zählbarer Hausdorff-Kompakt impliziert vollkommen normal usw.)

Überprüfen Sie, was allgemeiner schief gehen könnte $X=\omega_1 + 1$Das ist kompakt Hausdorff aber nicht zweitzählbar. Drin,$\{\omega_1\}$ ist geschlossen (so Borel), aber nicht Baire (Halmos beweist in seiner Maßtheorie, dass ein kompaktes Set Baire ist, wenn es ein ist $G_\delta$und dieser Singleton ist nicht). Die Dieudonné messen weiter$X$ist eine Borel Maßnahme , die nicht regelmäßig, sondern ist regelmäßig , wenn wir auf Baireschen Sets arbeiten. Siehe Halmos 'Buch oder Fremlins umfangreiche Arbeit in der topologischen Maßtheorie. Wenn wir Baire-Sets nehmen, haben wir mehr als genug Sets, um Integrationsaufgaben usw. zu erledigen, und es gibt bessere Verhaltensmaße in Bezug auf die Regelmäßigkeitseigenschaften.