$\cap_{n=1}^{\infty}A_n$ und unendlich

Dec 31 2020

Eine Frage:

  1. Wenn die Definition von $\cap_{n=1}^{\infty}A_n=\{x\in A_i\forall n\in N\}$ und es ist nicht leer, dann bedeutet es, dass seine Elemente zum unendlichen Schnittpunkt von gehören $A_n$ oder irgendein endlicher Schnittpunkt von $A_n$ für alle natürlichen Zahlen?

Zur weiteren Erläuterung möchte ich zeigen, wie ich mich dieser verwirrenden Notation gegenüber fühle $\cap_{n=1}^{\infty}A_n$.

Analyse verstehen Steven Abbott

Beispiel 1.2.2, in dem es definiert $A_i = \{x\in N: x\geq i\}$. Durch Induktion ist es für jede endliche Schnittmenge nicht leer. Ein Beweis durch Widerspruch kann jedoch zeigen, dass es sich um einen unendlichen Fall handelt, bei dem die Notation verwendet wird$\cap_{n=1}^{\infty}A_i$ist es eine Nullmenge. Mit anderen Worten, in diesem Beispiel wird diese Notation für unendliche Schnittmengen verwendet.

Satz 1.4.1, in dem die Eigenschaft des verschachtelten Intervalls bewiesen wird. $I_n = \{x\in R: a_n\leq x\leq b_n\}$. Hier wird nicht angegeben, ob dies eine unendliche Schnittmenge ist oder nicht. Stattdessen hieß es:$\exists x\forall n\in N x\in I_n$. Daher das$x\in\cap_{n=1}^{\infty}A_n$. Mit anderen Worten, in diesem Beispiel wird diese Notation für jede endliche natürliche Zahl verwendet

Satz 1.5.8 sagt Wenn$A_n$ ist eine zählbare Menge für jede $n\in N$, dann $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$ist zählbar. Mit anderen Worten, in diesem Beispiel wird diese Notation für unendliche Schnittpunkte verwendet.

Ich bin durch diese Notation in dem Sinne verwirrt, dass die Notation das Unendlichkeitszeichen enthält, aber ihre Definition jede natürliche Zahl bedeutet. Wenn ich es sehe, weiß ich einfach nicht, welches ich anwenden soll.

Sagen Sie, wenn ich mich für die Richtung entscheide, in der es anwendbar ist $\forall n\in N$, dann sollte die Induktion funktionieren, weil die Induktion genau dasselbe tut! In diesem Beitrag wird jedoch etwas anderes vorgeschlagen, indem gesagt wird, dass es sich bei der Notation um Unendlichkeit handelt .

Gut, ich wechsle die Richtung, in der es um unendliche Schnittpunkte geht. Aber in einigen Fällen, zum Beispiel dem oben aufgeführten, ist es in Ordnung, Teil dieser Notation zu sein, wenn etwas für alle natürlichen Zahlen gilt.

Kurz gesagt, ich habe das Gefühl, dass diese Notation zwei widersprüchliche Bedeutungen hat

  1. $\forall n\in N$
  2. Unendlichkeit

Ich habe schon früher recherchiert und Fragen gestellt, aber ich verstehe es immer noch nicht. Ich glaube, ich habe etwas falsch gemacht und in einigen Definitionen verwirrt.

Antworten

2 BrianM.Scott Dec 31 2020 at 13:42

$\bigcap_{n=1}^\infty A_n$Ist ein Satz. Welches Set? Die Menge aller Dinge, die zu jeder der Mengen gehören$A_n$ zum $n\in\Bbb Z^+$. Lassen$\mathscr{A}=\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$;; dann$\bigcap\mathscr{A}$ bedeutet genau das gleiche. $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ ist einfach eine übliche Notation, die weder mehr noch weniger bedeutet als $\bigcap_{n\ge 1}A_n$, $\bigcap\mathscr{A}$, und $\bigcap\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$. Es gibt kein$A_\infty$: das $\infty$ ist nur ein Signal, dass der Index $n$ ist es, alle positiven ganzzahligen Werte anzunehmen.

Angenommen, das gilt für jede positive reelle Zahl $x$ ich lasse $I_x$ sei das offene Intervall $(-x,x)$. Dann$\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x$ist die Menge aller reellen Zahlen, die zu jedem dieser offenen Intervalle gehören. Wenn$\mathscr{I}=\{I_x:x\in\Bbb R^+\}$, dann

$$\bigcap\mathscr{I}=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}(-x,x)=\{0\}\,.$$

Wie soll ich wissen? Wenn$y\in\Bbb R\setminus\{0\}$, dann $y\notin(-|y|,|y|)=I_{|y|}$Es gibt also mindestens ein Mitglied von $\mathscr{I}$ das enthält nicht $y$und daher per Definition $y$ ist nicht im Schnittpunkt der Mengen in der Familie $\mathscr{I}$. Andererseits,$0\in(-x,x)=I_x$ für jeden $x\in\Bbb R^+$, so $0$ ist in der Kreuzung$\bigcap\mathscr{I}$.

In keinem Fall haben wir irgendwo Induktion eingesetzt. Bei den Sets$A_n$ Möglicherweise können wir Induktion verwenden $n$ um zu zeigen, dass jeder der Sätze $A_n$ hat etwas Eigentum $P$, aber wir konnten diese Induktion nicht erweitern, um dies zu zeigen $\bigcap\mathscr{A}$ hat $P$. Wir könnten irgendwie in der Lage sein, die Tatsache zu nutzen , dass jeder$A_n$ hat Eigentum $P$ zu zeigen, dass $\bigcap\mathscr{A}$ hat auch $P$, aber das würde ein separates Argument erfordern; es wäre nicht Teil der Induktion. Das Induktionsargument in diesem Fall würde dies beweisen

$$\forall n\in\Bbb Z^+(A_n\text{ has property }P)\,;$$

Das separate Argument würde dann unter Verwendung dieses Ergebnisses und anderer Tatsachen zeigen, dass die einzelne Menge $\bigcap\mathscr{A}$ hat Eigentum $P$. Sie könnten dieses Set nennen$A_\infty$wenn Sie dies wünschen, aber das wäre nur ein Etikett; man könnte es genauso gut nennen$A$, oder $X$, oder auch $A_{-1}$Obwohl ich mir nicht vorstellen kann, warum Sie dieses letzte Etikett verwenden möchten.

Bei den Sets $I_x$ Es gibt keine Möglichkeit, Induktion zu verwenden, um dies zu zeigen $I_x$ hat eine Eigenschaft: Diese Sets können nicht als aufgeführt werden $I_1,I_2,I_3$und so weiter, weil es unzählige von ihnen gibt. Wir können immer noch Dinge über das Set beweisen$\bigcap\mathscr{I}$, jedoch. Und wir könnten ihm jedes passende Etikett geben.$\bigcap\mathscr{I}$ist informativ, aber vielleicht etwas unpraktisch; Ich könnte es mit dem handlicheren Etikett versehen$I$.

Im Falle von $\mathscr{A}$ Es gibt eine übliche Notation, die das Symbol verwendet $\infty$, aber das ist einfach eine Folge der Tatsache, dass die Mengen $A_n$werden durch ganze Zahlen indiziert. Wir machen genau das Gleiche im Beispiel mit$\mathscr{I}$In diesem Fall besteht jedoch keine Möglichkeit, ein Limit von zu verwenden $\infty$ an der Kreuzung, weil es keine Möglichkeit gibt, die unzähligen Mengen zu indizieren $I_x$ durch ganze Zahlen.