Charakterisierung verbundener lokal verbundener Mengen

Question

$T_1$ Raum $X$ ist sowohl verbunden als auch lokal verbunden, wenn für jede offene Abdeckung $\{U_\alpha\}$ von $X$ und Punktepaar $x_1,x_2$ von $X$gibt es eine endliche Folge $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ und eine Folge von verbundenen offenen Teilmengen $V_1,\cdots,V_n$ so dass

1. $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
2. $V_i\cap V_j\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$
3. $V_i\subseteq U_{\alpha_i}$ für alle $i=1,\cdots,n$

Nun zu verbunden $X$Wir haben das für $x_1,x_2$ von $X$ und offene Abdeckung $\{U_\alpha\}$können wir eine Sequenz bekommen $U_{\alpha_1},\cdots,U_{\alpha_n}$ von der Abdeckung so, dass

1. $x_1\in U_{\alpha_1}$, $x_2\in U_{\alpha_n}$
2. $U_{\alpha_i}\cap U_{\alpha_j}\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$

Ebenso wie $X$ lokal verbunden ist, ist jede Komponente eines offenen Satzes offen.

Nun glaube ich, dass die $V_i$ Erforderlich sind Komponenten von $U_{\alpha_i}$, entsprechend gewählt, so dass Bedingungen $1$ und $2$halt. Dies würde sich automatisch um den Zustand kümmern$3$. Dies konnte ich jedoch nicht zeigen. Jede Hilfe wäre dankbar!

Answer 1

Lassen $X$die "Bedingung der offenen Abdeckung" erfüllen. Dann$X$ ist verbunden, weil zwei beliebige $x_1, x_2 \in X$ sind in einer verbundenen Teilmenge von enthalten $X$ (Nehmen Sie die Vereinigung der $V_i$). Zu zeigen, dass$X$ ist lokal verbunden, lassen $x_1 \in X$ und $U_1$ eine offene Nachbarschaft von sein $x_1$. Wir müssen eine vernetzte offene Nachbarschaft finden$V_1$ von $x_1$ so dass $V_1 \subset U_1$. Der Satz$U = X \setminus \{x_1\}$ ist seitdem geöffnet $X$ ist $T_1$(Dies ist der einzige Ort, an dem wir die brauchen$T_1$-Anforderung). Deshalb$\mathcal U = \{U_1, U\}$ ist eine offene Abdeckung von $X$. Wählen Sie eine aus$x_2 \in X$ (falls Sie es wollen $x_2 = x_1$). Es gibt eine Folge von verbundenen offenen$V_i$wie in Ihrem Zustand. Wir haben$x_1 \in V_1$. Außerdem,$V_1$ ist in einem Mitglied von enthalten $\mathcal U$. Schon seit$x_1 \in V_1$ist es unmöglich, dass $V_1 \subset U$. So$V_1 \subset U_1$.

Als nächstes beweisen wir das Gegenteil. Beginnen wir mit folgendem

Lemma: Lass $M_1,\ldots, M_r$ Teilmengen von sein $X$ so dass $M_i \cap M_{i+1} \ne \emptyset$ zum $i =1,\ldots,r-1$. Dann existiert eine Teilmenge$\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ so dass $1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ und $M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ iff $\lvert i - j \rvert \le 1$.

Beweis: Rufen Sie an $\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ schön wenn$1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ und $M_{k_i} \cap M_{k_{i+1}} \ne \emptyset$ zum $i = 1,\ldots,n-1$. Deutlich$\{1,\ldots,r\}$ist schön. Es gibt eine schöne$\{k_1,\ldots,k_n\}$mit minimal$n$ (möglicherweise $n = r$). Annehmen$M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ für ein Paar $(i,j)$ so dass $\lvert i - j \rvert > 1$. Wlog können wir annehmen$i < j$. Dann$\{k'_1 = k_1,\ldots,k'_i = k_i,k'_{i+1} = k_j,\ldots,k'_{n+1-(j-i)} = k_n\}$ ist nett mit $n+1-(j-i) < n$ein Widerspruch.

Das Lemma zeigt, dass wir im "offenen Deckungszustand" 2. durch den (nur scheinbar) schwächeren Zustand ersetzen können $$V_i \cap V_{i+1} \ne \emptyset, i =1,\ldots,n-1 .$$ Lassen $\mathcal U$ eine offene Abdeckung von sein $X$. Zum$x_1,x_2 \in X$ definieren $x_1 \sim x_2$ wenn es eine endliche Folge von verbundenen offenen Teilmengen gibt $V_1,\cdots,V_n$ so dass

1. Jeder $V_i$ ist in einigen enthalten $U_{\alpha_i} \in \mathcal U$.
2. $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
3. $V_i\cap V_{i+1} \neq\emptyset$ zum $i = 1,\ldots,n-1$

$\sim$ist eine Äquivalenzbeziehung. Reflexivität ist auf lokale Verbundenheit zurückzuführen (jeweils$x$ ist in einigen enthalten $U \in \mathcal U$, jetzt nimm $n=1$ und $V_1$ jedes angeschlossene offen, so dass $x \in V_1 \subset U$). Symmetrie und Transitivität sind offensichtlich.

Die Äquivalenzklassen $[x_1]$ in Gedenken an $\sim $ sind offen: Wenn $x_2 \in [x_1]$finden wir eine Folge von $V_i$wie oben. Aber dann natürlich$x_2 \in V_n \subset [x_1]$. Daher bilden die Äquivalenzklassen eine Partitionierung von$X$in paarweise disjunkte offene Sätze. Schon seit$X$verbunden ist, kann es nur eine Äquivalenzklasse geben. Also zwei beliebige$x_1,x_2 \in X$ sind gleichwertig, was den Beweis beendet.

Answer 2

In dieser Antwort gebe ich eine Kettencharakterisierung der Verbundenheit. Lesen Sie das zuerst. Ich habe nicht das "iff$|i-j| \le 1$"Teil dort, aber das kann mit dem erreicht werden $T_1$-ness von $X$Überprüfen Sie den Beweis. Ich persönlich mag es nicht, Trennungsaxiome so einzumischen.

Wenn $X$ ist verbunden und lokal verbunden, lassen $\{U_{\alpha \in A}\}$ eine offene Abdeckung von sein $X$. Dann für jeden$x \in X$ wir haben $\alpha_x$ und offen verbunden $V_x$ so dass $x \in V_x \subseteq U_{\alpha_x}$. Wenden Sie dann die Kettencharakterisierung der Verbundenheit von an$X$ zu $\{V_x: x \in X\}$ und wir haben eine Richtung gezeigt, die Existenz dieser Deckung aus Verbundenheit und lokaler Verbundenheit.

Wie zu sehen beweisen $X$verbunden und lokal verbunden von der "modifizierten Kettenbedingung"? Die Verbindung ist einfach, da wir die Bedingung direkt auf die Abdeckung anwenden$\{U,V\}$ wann $U,V$ ist eine Trennung von $X$.

Mehr noch, lass $O$ sei offen, $p \in O$ und lass $C$ sei ein Bestandteil von $p$ im $O$. Wenden Sie die Tatsache auf die offene Abdeckung an$\{O,X\setminus \{p\}\}$ von $X$. Zum$y \in C$ und $p$ wir finden offen und verbunden $V_1,\ldots V_n$ so dass $p \in V_1$, $q \in V_n$ und $V_i \subseteq O$ oder $V_i \subseteq X\setminus \{p\}$ für alle $i$ und angrenzend $V_i$sich schneiden. Tatsächlich muss die "Kette" eine Länge haben$2$ wenn du darüber nachdenkst (!), so $n=2$. Aber dann$V_1 \cup V_2$ verbunden ist und eine Teilmenge von $O$ und zeigt das $q$ ist ein innerer Punkt von $C$ und $X$ ist lokal verbunden.