Definition des normierten und inneren Produktraums
Ich habe einige Wikipedia-Seiten über normierte Vektorräume und innere Produkträume gelesen und in den Definitionen wird immer über Vektorräume gesprochen$\Bbb R$ oder $\Bbb C$.
Liegt das daran, dass die meisten nützlichen normierten und inneren Produkträume vorbei sind? $\Bbb R$ oder $\Bbb C$ oder sind diese Leerzeichen nur für Vektorräume über diesen bestimmten Feldern definiert?
Bearbeiten: Nachdem ich dieses Thema in den Kommentaren dieses Beitrags diskutiert habe, möchte ich meine Frage umformulieren:
Lassen $V$ sei ein Vektorraum über einem Feld $\mathbb F$. Welche Bedingung sollte$\Bbb F$ Überprüfen Sie, ob wir wollen $V$ein innerer Produktraum sein können? Wie wäre es mit einem normierten Vektorraum?
Antworten
Ich glaube, es funktioniert über jedes normierte Feld (zumindest über den normierten Raum, für innere Produkträume bin ich mir nicht sicher, da Sie für eine komplexe Konjugation eine Verallgemeinerung benötigen würden). Ein normiertes Feld$k$ ist ein Feld mit einer Norm ausgestattet $||\cdot||: k\to \mathbb{R}_{\ge0}$ so dass
- $||x||=0\Leftrightarrow x=0$
- $||a+b|| \le ||a|| + ||b||$
- $||a\cdot b|| = ||a||\cdot||b||$
Wenn dein Feld $k$ hat eine diskrete Bewertung $\nu$ dass Sie eine Norm erstellen können, indem Sie definieren $||x||:=\exp(-a\nu(x))$ für jedes positive $a$...
Ich bin mir auf jeden Fall sicher, dass Bourbaki Ihnen die allgemeinste Definition geben wird.
Und wenn Sie den Zustand lockern möchten, dem die Norm zugeordnet ist $\mathbb{R}_{\ge0}$Ich denke, es gibt auch eine Möglichkeit, dies zu tun, und lassen Sie es einfach auf eine Art vollständig geordnetes Semiring abbilden ...