Die bedingte Normalverteilung [Duplikat]

Question

Ich möchte die bedingte bivariate Normalverteilung finden. Es gibt zwei abhängige Normalvariablen mit derselben Verteilung und dem Korrelationskoeffizienten$\rho$:: $X,Y \sim N(\mu, \sigma^2)$. Ich hätte gern$P(X|Y>M)$.

Ich fand die bedingte Erwartung von $X$ angesichts dessen $Y$ ist größer als $M$:: $E(X|Y>M)= \mu + \rho \sigma \frac{\phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}{1-\Phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}$.

Aber was ist die bedingte Varianz von $var(X|Y>M)$? Ist es$(1-\rho^2)\sigma^2 $, wie es im Fall von wäre $var(X|Y=M)$, wo die Varianz nicht davon abhängt $M$?

Und ist die bedingte Verteilung $N(E(X|Y>M),var(X|Y>M))$?

Answer 1

Die bedingte Varianz hängt ab von $M$.

Ich kann keine geschlossene Form für die bedingte Varianz finden, aber ich kann eine geschlossene Form für die Dichte finden. Ich fand es, indem ich mit der bedingten kumulativen Verteilungsfunktion unter Verwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit begann und dann differenzierte, um die bedingte Dichte zu finden.

Die Dichte unter Verwendung des Mathematica-Eingabeformulars ist:

(((mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] - 
  ((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] + 
  (1 + Erf[Sqrt[(2*s^2 - 2*rho^2*s^2)^(-1)]*(mu - mu*rho + rho*t)])/Sqrt[(s^2 - rho^2*s^2)^(-1)])/(2*E^((mu - t)^2/(2*s^2))*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[(1 - rho^2)*s^4]*(1 - Erfc[(-M + mu)/(Sqrt[2]*s)]/2))

Ihre Formel für den bedingten Mittelwert ist korrekt.

Ich weiß, dass die bedingte Varianz davon abhängt $M$ weil ich es durch numerische Integration berechnet habe.