Die positive Energiebedingung in der Quantenfeldtheorie für Hamiltonianer, die mit verschiedenen zeitlichen Tötungsvektoren verbunden ist
Der Unruh-Effekt ist ein bekanntes Beispiel für zwei Hamiltonianer $H$ und $\hat H$assoziiert mit verschiedenen zeitlichen Killing-Vektorfeldern haben beide eine Untergrenze in derselben Hilbert-Raum-Darstellung, obwohl sie durch keine Raumzeit-Isometrie miteinander in Beziehung stehen. Diese Frage fragt nach einer Verallgemeinerung.
Betrachten Sie eine Quantenfeldtheorie in flacher Raumzeit, ausgedrückt als Feldoperatoren, die auf einen Hilbert-Raum einwirken. Lassen$K$ und $\hat K$zwei verschiedene zeitähnliche Tötungsvektorfelder sein, die nicht notwendigerweise durch irgendeine Isometrie miteinander in Beziehung stehen und nicht notwendigerweise die gesamte Raumzeit abdecken. (Denken Sie als Beispiel an Rindler-Koordinaten.) Lassen Sie$R$ sei der Bereich der Raumzeit, in dem beide Killing-Vektorfelder definiert sind, und betrachte die Algebra der Observablen in $R$. Lassen$H$ und $\hat H$ seien Sie die Operatoren (Hamiltonianer), die Übersetzungen dieser Observablen erzeugen $K$ und $\hat K$, beziehungsweise.
Frage: Angenommen, die Algebra wird auf einem Hilbert-Raum so dargestellt, dass das Spektrum eines der Hamiltonianer$H$hat eine Untergrenze. Bedeutet dies, dass das Spektrum des anderen Hamiltonian$\hat H$ hat auch eine Untergrenze (in der gleichen Hilbert-Raum-Darstellung)?$^\dagger$
Ich suche keinen wasserdichten Beweis, nur ein überzeugendes Argument - etwas, das klar genug ist, dass ich jeden Schritt in einer Freifeldtheorie überprüfen kann.
Übrigens, falls dies nicht bekannt ist: Die Hamilton- Dichte ist in der Quantenfeldtheorie nicht unbedingt positiv bestimmt, auch nicht in einer Darstellung, in der der Hamilton-Operator selbst positiv bestimmt ist. Siehe Fewster (2005) "Energieungleichheiten in der Quantenfeldtheorie",https://arxiv.org/abs/math-ph/0501073, der sagt (Seite 2):
Es ist seit langem bekannt, dass Quantenfelder alle diese punktweisen Energiebedingungen verletzen [4], und in vielen Modellen ist die Energiedichte für die Klasse der physikalisch vernünftigen Zustände tatsächlich von unten unbegrenzt.
$^\dagger$ Die Frage bezieht sich darauf , wie die Betreiber dargestellt auf einem Hilbert - Raum. Das ist wichtig, weil$H$Typischerweise hat es in den meisten Hilbert-Raum-Darstellungen keine Untergrenze, selbst wenn dies in einer von ihnen der Fall ist. Die Spektrumsbedingung ist eine Eigenschaft einer bestimmten Hilbert-Raum-Darstellung, nicht nur eine Eigenschaft der abstrakten Algebra von Observablen.
Antworten
Die Antwort ist nein , und ironischerweise ist das Beispiel, mit dem ich die Frage motiviert habe, tatsächlich ein Gegenbeispiel: Das Spektrum des Rindler Hamiltonian hat keine Untergrenze.
Der Rindler Hamiltonian erzeugt Boosts in der Minkowski-Raumzeit. Ein Ausdruck in Form des Spannungsenergietensors ist in Gleichung (25) in gezeigt
- Jacobson, "Schwarze Löcher und Hawking-Strahlung in der Raumzeit und ihre Analoga", https://arxiv.org/abs/1212.6821
Dieser Ausdruck macht deutlich, dass der Rindler Hamiltonianer keine Untergrenze haben kann.
Im Nachhinein ist dies durch Symmetrie offensichtlich. Die Umkehrung eines Boosts entspricht einem Boost in Kombination mit einer räumlichen Reflexion. Eine räumliche Reflexion verändert das Spektrum nicht, aber die Umkehrung kippt das Vorzeichen des Spektrums. Diese können nur dann gleich sein, wenn das Spektrum um Null symmetrisch ist. Wenn das Spektrum keine Obergrenze hat, kann es daher auch keine Untergrenze haben.
Anmerkungen:
Jacobsons Artikel (oben zitiert) betrachtet nur einen partiellen Hamilton-Operator, der durch Integration über einen "Rindler-Keil" erhalten wird, aber diese Integrationsfläche ist keine Cauchy-Oberfläche. Um den vollständigen Hamiltonianer auf einer Cauchy-Oberfläche zu sehen, müssen wir den linken und den rechten Rindler-Keil zusammen betrachten, und dann ist es offensichtlich, dass der vollständige Hamiltonianer keine Untergrenze haben kann.
Beachten Sie, dass in einigen Literaturstellen zum Unruh-Effekt der Name "Vakuumzustand" stillschweigend neu definiert wird, um etwas anderes als "Zustand mit der niedrigsten Energie" zu bedeuten.
Für eine sorgfältige Analyse einiger Feinheiten siehe Requardt, "Die rigorose Beziehung zwischen Rindler- und Minkowski-Quantenfeldtheorie im Unruh-Szenario", https://arxiv.org/abs/1804.09403
In der QFT (Quantenfeldtheorie) die Lagrange-Dichte $\mathcal L$ist so konstruiert, dass es Lorentz-invariant ist. Basierend auf dem Lagrange bauen Sie eine Hamiltonsche Dichte auf$\mathcal H$, die positiv definitiv sein soll.
Wenn Sie das Referenzsystem ändern, ändert sich formal der Lagrange nicht, daher auch der Hamilton-Operator nicht. Folglich bleibt die positive Bestimmtheit des Hamilton-Operators erhalten, selbst wenn sie auf transformierte Felder angewendet wird.
Angenommen, Sie können das Minkowski-Vakuum starten $(H-E_{\Omega})|{\Omega}\rangle=0$. Dann können wir für jeden zeitähnlichen Tötungsvektor (den ich als Angabe einer zeitähnlichen Kurve oder eines beschleunigten Beobachters betrachten werde) fragen, ob es ein Vakuum gibt. Lokal kann die Region im Raum, über die das Tötungsfeld definiert ist, in Form von Rindler-Koordinaten angegeben werden. Mit anderen Worten, zu jedem Zeitpunkt der richtigen Zeit wissen wir, wie hoch die Beschleunigung ist, und die allgemeine Kovarianz sagt Ihnen, dass die lokale Physik mit dem Minkowski-Raum identisch ist. Das Minkowski-Vakuum für diesen Beobachter sollte also wie ein thermischer Zustand aussehen, möglicherweise mit einer variierenden Temperatur. Mit anderen Worten, ein beschleunigter Beobachter sieht immer einen effektiven Horizont, dem man eine Temperatur zuweisen kann. Daher sollten Ihre Fragen durch den Unruh-Effekt beantwortet werden.