Die Sequenz der Epimorphismen restlicher endlicher Gruppen stabilisiert sich
Lassen $G_1 \to G_2 \to \cdots$eine Folge von Epimorphismen endlich erzeugter restlicher endlicher Gruppen sein. Stabilisiert es sich schließlich? Das heißt, sind fast alle Epimorphismen tatsächlich Isomorphismen?
Es ist zu beachten, dass endlich erzeugte restlich endliche Gruppen Hopfian sind, so dass das einfache Gegenbeispiel von jedem ausgeschlossen ist $G_i$ eine feste Gruppe zu sein und jeder Epimorphismus ein fester auf sich selbst zu sein.
Das analoge Ergebnis gilt, wenn die Gruppen restfrei sind: Dies ist Satz 6.8 in Charpentier Guirardel "Grenzgruppen als Grenzen freier Gruppen" . Der Beweis nutzt nur die Tatsache, dass rückstandsfreie Gruppen rückstandsfrei sind$SL_2(\mathbb{C})$und es scheint, dass es an den Fall angepasst werden kann, in dem jeder $G_i$ ist restlich $GL_n(\mathbb{C})$ für eine feste $n$. Es ist unwahrscheinlich, dass dies für allgemein endliche Gruppen gilt: Der Jordan-Schur-Satz impliziert, dass für eine allgemeine endliche Gruppe der minimale Grad gilt$n$ so dass es einbettet in $GL_n(\mathbb{C})$ kann beliebig groß sein.
Gibt es eine andere Möglichkeit, den Beweis anzupassen? Gibt es ein Gegenbeispiel?
Antworten
Die Antwort ist nein". Die Lampenlichtgruppe (die unendlich präsentiert wird) ist eine Grenze einer Folge von praktisch freien Gruppen und surjektiven Homomorphismen (siehe zum Beispiel diese Frage und Antworten dort ). Alle praktisch freien Gruppen sind restlich endlich.
In der gleichen Weise wie Dodds Antwort kann auch ein Gegenbeispiel aus der zweiten Houghton-Gruppe abgeleitet werden $H_2$, die als Gruppe von Bijektionen definiert ist $L^{(0)} \to L^{(0)}$ Dadurch bleiben Adjazenz und Nicht-Adjazenz für alle bis auf endliche Eckpunktpaare in der bi-unendlichen Linie erhalten $L$. Eine Präsentation von$H_2$ ist $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle$$ wo $t$ entspricht einer Einheitsübersetzung und $\sigma_i$ zur Permutation $(i,i+1)$. Schneiden Sie nun die Präsentation ab und definieren Sie sie$G_n$ über $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ n \geq |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle.$$ Durch die Verwendung der Beziehungen $t\sigma_it^{-1}=\sigma_{i+1}$ um die Generatoren zu entfernen $\sigma_0,\sigma_{-1},\ldots$ und $\sigma_{n+2},\sigma_{n+3},\ldots$finden wir die folgende Darstellung von $G_n$:: $$\left\langle \sigma_1, \ldots, \sigma_{n+1}, t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ 1 \leq i \leq n} \right. \right\rangle.$$ Beachten Sie aus dieser Präsentation, dass $G_n$ zerfällt als HNN-Erweiterung von $$\left\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_{n+1} \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \right. \right\rangle,$$ was sich als isomorph zur symmetrischen Gruppe herausstellt $\mathfrak{S}_{n+2}$, wo der stabile Buchstabe konjugiert $\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_n \rangle$ zu $\langle \sigma_2, \ldots, \sigma_{n+1} \rangle$. Als HNN-Erweiterung einer endlichen Gruppe gilt also$G_n$ muss praktisch frei sein.
Die Schlussfolgerung ist, dass der kanonische Quotient abgebildet wird $G_1 \twoheadrightarrow G_2 \twoheadrightarrow \cdots$ definiert eine Folge von Epimorphismen zwischen praktisch freien Gruppen, die sich nicht stabilisieren.
Bemerkung: Indem Sie das obige Argument fast wörtlich mit der Lampenscheinwerfergruppe reproduzieren$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ anstelle der Houghton-Gruppe $H_2$liefert die gleiche Schlussfolgerung. Der Grund ist, dass diese Gruppen eine ähnliche Struktur haben: Sie haben die Form$C \rtimes \mathbb{Z}$ für einige lokal endliche Coxeter-Gruppe $C$ wo $\mathbb{Z}$ wirkt auf $C$ über eine Isometrie der grafischen Definition $C$. (Im Übrigen können alle anderen Gruppen dieser Form wiederhergestellt werden$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ und $H_2$Es gibt also keine anderen interessanten Beispiele in dieser Richtung.)