Eine Frage zu fraktionierten Derivaten

Question

Ich weiß praktisch nichts über Bruchrechnung, also entschuldige ich mich im Voraus, wenn das Folgende eine dumme Frage ist. Ich habe bereits math.stackexchange ausprobiert.

Ich wollte nur fragen, ob es einen Begriff der gebrochenen Ableitung gibt, der linear ist und die folgende Eigenschaft erfüllt $D^u((f)^n) = \alpha D^u(f)f^{(n-1)}$ wo $\alpha$ist ein Skalar. Im Fall von Standardderivaten hätten wir$\alpha = n$.

Vielen Dank.

Answer 1

Es gibt grundsätzlich keine interessanten Lösungen für diese Gleichung jenseits der Operatoren erster und nullter Ordnung, selbst wenn man nur die angegebene Einschränkung für auferlegt $n=2$.

Erstens können wir die Hypothese depolarisieren$$ D^u(f^2) = \alpha_2 D^u(f) f \quad (1)$$ Durch Ersetzen $f$ mit $f+g, f-g$ für beliebige Funktionen $f,g$ und subtrahieren (und dann dividieren durch $4$), um die flexiblere Leibniz-Typidentität zu erhalten $$ D^u(fg) = \frac{\alpha_2}{2}( D^u(f) g + f D^u(g) ). \quad (2)$$

Es gibt jetzt drei Fälle, abhängig vom Wert von $\alpha_2$::

1. $\alpha_2 \neq 1,2$. Anwenden von (2) mit$f=g=1$ Daraus schließen wir dann $D^u(1)=0$und dann (2) erneut mit just anwenden $g=1$ wir bekommen $D^u(f)=0$. Wir haben also die triviale Lösung$D^u=0$ in diesem Fall.
2. $\alpha_2=2$. Dann$D^u$ist eine Ableitung und durch Induktion haben wir$D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1}$Genau wie bei der gewöhnlichen Ableitung haben wir es auch $\alpha_n=n$ für alle $n$ ohne gebrochenes Verhalten.
3. $\alpha_2=1$. Anwenden von (2) mit$g=1$ wir erhalten (nach ein wenig Algebra) $D^u(f) = mf$ wo $m := D^u(1)$. So$D^u$ ist nur ein Multiplikatoroperator, der gehorcht $D^u(f^n) = D^u(f) f^{n-1}$also $\alpha_n=1$ für alle $n$.

Daher gibt es keine anderen linearen Lösungen für Ihre Gleichung als die üblichen Ableitungen (z. $D^u(f) = a(x) \frac{d}{dx} f$ für jedes glatte Symbol $a$) und Multiplikatoroperatoren $D^u(f) = mf$dh Operatoren erster und nullter Ordnung.

Auf der anderen Seite fraktionierte Derivate $D^u$ neigen dazu, einer "gebrochenen Kettenregel" zu gehorchen $$ D^u( F(f) ) = D^u(f) F'(f) + E$$ für verschiedene glatte Funktionen $F,f$, wo der Fehler $E$gehorcht besseren Schätzungen in verschiedenen Sobolev-Räumen als die beiden anderen Terme in dieser Gleichung. Insbesondere für$F(t) = t^n$, Wir würden haben $$ D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1} + E$$ für einen "guten" Fehlerbegriff $E$. Zum Beispiel nehmen$u=n=2$ mit $D$ das übliche Derivat haben wir $$ D^2(f^2) = 2 D^2(f) f + E \quad (3)$$ mit $E$der Betreiber " carré du champ "$$ E := 2 (Df)^2.$$ Beachten Sie, dass der Fehler $E$ wird einheitlich von der gesteuert $C^1$ Norm von $f$Die beiden anderen Begriffe in (3) sind es jedoch nicht. Siehe meine vorherige MathOverflow-Antwort unterhttps://mathoverflow.net/a/94039/766 für einige Referenzen und weitere Diskussion.

Answer 2

Es scheint, dass Sie tatsächlich wollen $D^u(f^n)=\alpha f^{n-1} D^u f$, wo $\alpha$ ist ein Skalar.

Es gibt keinen Grund dafür, dass dies wahr ist, und dies ist in der Tat im Allgemeinen falsch. ZB für$n=2$und das Riemann-Liouville-Bruchderivat von$f:=\exp$ mit $u=1/2$, $a=0$, und $x>0$ wir haben $$f(x)^{n-1}(D^uf)(x)=e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{e^x}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ wohingegen $$(D^u(f^n))(x)=\sqrt{2} e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ so dass $$\frac{D^u(f^n)}{f^{n-1}\,D^uf}$$ ist ganz anders als jede Konstante.

Darüber hinaus ist der Begriff $\text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)$ im Ausdruck für $(D^u(f^n))(x)$ hier gegen den Begriff $\text{erf}\left(\sqrt{x}\right)$ im Ausdruck für $f(x)^{n-1}(D^uf)(x)$ Es scheint sehr unwahrscheinlich zu sein, dass irgendeine andere Art von gebrochenem Derivat so funktioniert, wie Sie es möchten.

Answer 3

Die verallgemeinerte Leibniz-Formel, die auf das klassische fraktionierte Integroderivativ anwendbar ist, lautet

$$ D^{\omega}\; f(x)g(x) = \sum_{n \geq 0} \binom{\omega}{n} [D^{\omega-n}f(x)]D^ng(x)=(D_L+D_R)^{\omega} g(x)f(x),$$

wo $D_L$ wirkt auf die Funktion links vom Produkt und $D_R$auf die richtige Funktion. Siehe z. B. Leibniz-Regeln und integrale Analoga für fraktionierte Derivate über eine neue Transformationsformel von Fugere, Gaboury und Tremblay.

Diese verallgemeinerte Leibniz-Regel gilt für das fraktionierte Integroderivativ, das die vernünftigen Axiome erfüllt, die Pincherle in "Die Rolle von Salvatore Pincherle bei der Entwicklung des Bruchkalküls" von Francesco Mainardi und Gianni Pagnini gegeben hat - diejenigen, die durch das übliche Derivat erfüllt sind, das zu integralen Kräften erhoben wird. negativ oder positiv. Wiederholungen dieser Operation werden in diesem MSE-Q vorgestellt und können verwendet werden, um die konfluenten (siehe dieses MO-Q ) und regulären hypergeometrischen fcts zu definieren.

Diese Wiederholungen von $D^{\omega}$stehen im Mittelpunkt der Definitionen der Euler-Gamma- und Beta-Funktionen über Integrale, Verallgemeinerungen der integralen Fakultäten und integralen Binomialkoeffizienten (siehe meine Antwort auf / refs in diesem MO-Q ), die die meisten Forscher häufig in ihren mathematischen Bemühungen verwenden. - im Gegensatz zu einigen auf MO geäußerten Meinungen. Siehe ein Beispiel für die halbe Ableitung in diesem MO-Q (das viele Benutzer anscheinend mit einem durch die Fourier-Transformation definierten Pseudodifferentialoperator verwechseln).