Eine Funktion finden, die Distanz ist $1$ von $x^2$ entlang seiner Normalen [Duplikat]

Question

Deshalb habe ich kürzlich an ein Problem gedacht, das ich auf viele Arten zu lösen versucht habe, aber nicht konnte. Es ist sehr einfach zu beschreiben ...

Finden Sie die Funktion, die Entfernung ist $1$ aus der Parabel $y=x^2$entlang seiner Normalen. Visual von dem, was ich meine .

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Dies ist eines der Dinge, die ich versucht habe ...

Diese Funktion würde das entsprechende bekommen $x$ Wert für die Funktion, die wir aus einem finden möchten $x$ Wert auf der Kurve $y=x^2$. Die Umkehrung würde das entsprechende ergeben$x $ Wert ein $x^2$ für ein gegebenes $x$ Wert, der es trivial machen würde, die zu bestimmen $y$ Wert. $$ f(x)=x+\sin(\arctan(2x)) $$ Dies kann zu diesem Problem gelöst werden ... $$ f(x)=x+\frac{2x\sqrt{1+4x^2}}{1+4x^2} $$ Ich weiß jedoch nicht, wie ich die Umkehrung dieser Funktion erhalten soll.

Answer 1

$(f-x)=2x/\sqrt{1+4x^2}$ damit $(f-x)^2(1+4x^2)=4x^2$ oder laut Wolfy $4 f^2 x^2 + f^2 - 8 f x^3 - 2 f x + 4 x^4 - 3 x^2 = 0$.

Dies ist ein Quartic in $x$ Das kann gelöst werden, ist aber wie erwartet unglaublich chaotisch.

Answer 2

Ich habe parametrische Gleichungen des Ortes gefunden

$$ \begin{cases} x=2 t^3-\frac{8 t^5}{4 t^2+1}-\frac{2 t^3}{4 t^2+1}+t +\frac{2 t}{\sqrt{4 t^2+1}}\\ y= \frac{4 t^4+t^2-\sqrt{4 t^2+1}}{4 t^2+1}\\ \end{cases} $$

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Answer 3

Wir können durch Versetzen von der Standardparametrisierung ändern. Gebraucht$ f=1, r= (-0.2,0,+0.2)$ im Diagramm (Versatz 0,2 anstelle von 1,0 zur Klarheit des Diagramms verwendet).

f = 1; r = 0;
g1 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic]
 r = 0.2;
g2 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  PlotStyle -> {Thick, Blue}]
r = -0.2;
g3 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic, PlotStyle -> {Thick, Red}]
Show[{g1, g2, g3}, PlotRange -> All]

Wir addieren oder entfernen Abstände entlang der Normalen und der Tangente mit Versatz $r$ $$ (x,y)= ( 2 f t,f t^2 ) ;\; t = \tan \phi $$

$$ x_1= x - r \sin \phi, y_1= y+ r \cos \phi $$