Einzigartige lineare Transformation zwischen projektiver Hyperebene und projektiver Hyperebene und Punkt zu Punkt - ein prägnanter Beweis

Question

Lassen $\mathbb P^n$ bezeichnen das projektive $n$-Raum über einem algebraisch nahen Feld $k$dh $\mathbb P^n$ ist gegeben durch $(\mathbb A^{n+1}\setminus \{0\})/ \sim$ wo $\mathbb A^{n+1}$ ist die Affine $(n+1)$-space und $\sim$ ist die Äquivalenzbeziehung, die Punkte identifiziert, die skalare Vielfache voneinander sind, dh für zwei Punkte $(a_0, \cdots , a_n)$ und $(b_0, \cdots , b_n)$ im $\mathbb A^{n+1}$, $$(a_0, \cdots , a_n) \sim (b_0, \cdots , b_n) \iff \exists \hspace{1mm} \lambda \in k^\times \text{ s.t. } b_j = \lambda a_j \text{ for all }1 \leq j \leq n$$ Mit einer Hyperebene in $\mathbb P^n$Ich meine die Nullmenge eines linearen homogenen Polynoms $f \in k[x_0, \cdots , x_n]$, das ist ein Polynom der Form $f(x_0, \cdots , x_n) := \sum_{j=0}^n a_j x_j$ wo $(a_0, \cdots , a_n) \in \mathbb P^n$.

Ich habe gesehen, dass das folgende Ergebnis in einigen Kontexten verwendet wurde, und obwohl ich intuitiv sehen kann, warum es wahr sein muss, konnte ich kein strenges Argument finden, das dasselbe rechtfertigt:

Fakt (?) Lass$H$ eine Hyperebene sein und $P$ jeden Punkt in $\mathbb P^n \setminus H$. Dann gibt es eine lineare Transformation$A \in \text{GL}_{n+1}(k)$ so dass $A(H)$ ist die Hyperebene $\{(x_0, \cdots , x_n) : x_0=0\}$ und $A(P) = (1, 0, \cdots , 0)$.

Ich suche einen vollständigen und präzisen Beweis für dieses Ergebnis, der nach Möglichkeit sauber ist. Ich glaube, dass ein mögliches Argument auf folgenden Beobachtungen beruhen könnte:

1. $H$ wird von jedem eindeutig bestimmt $n$Punkte darauf. Also wählen wir jetzt$n+1$ Punkte $P_1, \cdots , P_n$ auf $H$.
2. Es existiert eine lineare Transformationssendung $P$ zu $(1, 0, \cdots, 0)$ und $P_j$ zu $(0, \cdots , 0 , 1, 0, \cdots, 0) \in \mathbb P^n$ (($0$ in dem $j$-th Slot, hier die $n+1$ Slots werden die genannt $0$-th, $1$-st, ..., $n$-th Slot Slots) für jeden $1 \leq j \leq n$.

Ich war jedoch nicht in der Lage, diese sauber und streng zu machen (ich beschäftige mich immer wieder mit zu vielen linearen Gleichungen) und bezweifle allmählich die Genauigkeit meiner Intuition. Ich würde mich sehr über ein vollständiges Argument für die oben genannten "Fakten (?)" Oder eine Referenz freuen, die dieselben und wenn möglich Vorschläge enthält, wie meine Idee funktionieren kann.

Bearbeiten (einige Fortschritte): Dank Rolands Kommentar habe ich einige Fortschritte gemacht:

Lassen $H$ durch die Gleichung gegeben sein $\sum_{j=0}^n a_j x_j = 0$. Dann in$\mathbb A^{n+1}$, $H$ bleibt gleich (trotzdem werde ich es nennen $H_0$ wenn als Teilmenge von betrachtet $\mathbb A^{n+1}$) während $P := (p_0, \cdots , p_n)$ wird die Linie $L_0 := \{(p_0 t, \cdots , p_n t) : t \in k\}$. Ich sollte zuerst zeigen, dass es eine Matrix gibt$A \in \text{GL}_{n+1}(k)$ so dass $A(H_0) = H_1$ und $A(L_0)=L_1$, wo $H_1 := \{(0, x_1, \cdots , x_n) : x_j \in k\} \subset \mathbb A^{n+1}$ und $L_1$ ist die Linie $\{(t, 0, \cdots , 0) : t \in k\} \subset A^{n+1}$.

Jetzt kann ich also auswählen $n$ linear unabhängige Punkte $A_j \in H_0$ (($1 \leq j \leq n$), was da möglich ist $H_0$ ist ein $n$-dimensionaler Unterraum von $\mathbb A^{n+1}$ und ich bekomme eine lineare Transformation $A \in \text{GL}_{n+1}(k)$ was sendet $A_j$ zu $(0, \cdots , 0 , 1, 0, \cdots 0)$ (mit $1$ in dem $j$-th Slot) für jeden $1 \leq j \leq n$. So$A$ sendet $H_0$ zu $H_1$. Ich muss noch senden$A(L_0)$ zu $L_1$ Ich brauche also eine lineare Transformation $T \in \text{GL}_{n+1}(k)$ was sendet $A(L_0)$ (das ist auch eine Linie durch den Ursprung) zu $L_1$ und verlässt $H_1$ invariant (als Menge).

Schließlich lassen wir $T \in \text{GL}_{n+1}(k)$ sei die lineare Transformation, die sendet $(p_0, \cdots , p_n) \in \mathbb A^{n+1}$ zu $(1, 0, \cdots , 0)$ und behebt eine Basis von $H_1$ punktuell.

Nach dieser letzten linearen Transformation $T$, Wir notieren das $TA \in \text{GL}_{n+1}(k)$ sendet $H_0$ zu $H_1$ und $L_0$ zu $L_1$ im $\mathbb A^{n+1}$. Deshalb$TA$ sollte auch die erforderliche Arbeit erledigen, nämlich senden $H$ zu $\{(0, x_1, \cdots , x_n)\} \subset \mathbb P^n$ und $P$ zu $(1, 0, \cdots 0)$Damit wird der Beweis vervollständigt und "Fakt (?)" $ zu einer Tatsache gemacht.

Meine einzige Folgefrage: Ist dieses Argument richtig oder gibt es Lücken?

Answer 1

Ein kleiner Hinweis: $GL_{n+1}(k)$verhält sich für lineare Systeme anders als für Punkte. Wenn$H$ ist eine Hyperebene mit Gleichung $a^T \times x=0$, dann die Gleichung von $AH$ ist $(aA^{-1})^T \times x=0$.

Ihr Problem ist nun das folgende: gegebene Vektoren ungleich Null $a$ (Reihe) und $x$ (Spalte) mit $ax \neq 0$finden Sie eine invertierbare Matrix $A$ so dass $aA^{-1}=(1,0,\ldots,0)$, $Ax=(r,0,\ldots,0)$ mit $r \neq 0$.

Finde eine Basis $(a_2,\ldots,a_{n+1})$ des $n$-dimensionaler Raum der Zeilenvektoren orthogonal zu $x$. Nehmen$A_1$ die Matrix, deren Zeilen sind $(a,a_2,\ldots,a_{n+1})$. Dann per Definition$aA_1^{-1}=(1,0,\ldots,0)$, und $x_1=A_1x$ hat keine Einträge an Indizes $2 \leq i \leq n+1$und ist ungleich Null. Also sind wir fertig.