Erklärung der Ableitung der Formel für die Summe einer arithmetischen Folge der ersten n Terme

Aug 16 2020

Ich versuche die Ableitung der Formel für die Summe einer arithmetischen Folge der ersten zu verstehen $n$ Begriffe.

Ich verstehe nicht, welche Regeln oder Argumente es erlauben, zwei Sequenzen in umgekehrter Reihenfolge hinzuzufügen, um den gemeinsamen Unterschied zu beseitigen $d$ und kommen zu dem Schluss, dass die Summe einer arithmetischen Folge der ersten $n$ Begriffe ist die Hälfte $n$mal die Summe der ersten und letzten Terme. Dies scheint ein erfundener Weg zu sein, um den gemeinsamen Unterschied zum erweiterten zu beseitigen, der auf einigen ungeklärten Kenntnissen von basiert$d$ und arithmetische Folgen im Allgemeinen.

Ich habe diese Frage in Mathematiklehrbüchern und online recherchiert und jedes Mal, wenn die Ableitung präsentiert wird, kann ich keine Erklärung dafür finden, warum es für einen Mathematiker offensichtlich wäre, dass sie durch Hinzufügen der Sequenzen die Formel ableiten würden.

Der Hintergrund.

Die Ableitung der Formel, wie sie in vielen Lehrbüchern und Online-Sites erläutert wird, lautet wie folgt.

  1. Um die Summe einer arithmetischen Folge für die erste zu finden $n$ Begriffe $S_n$können wir die Summe in Bezug auf den ersten Term ausschreiben $a_1$ und der gemeinsame Unterschied $d$.

$$ S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + ... + a_n $$

  1. Es ist auch möglich, die Sequenz in umgekehrter Reihenfolge in Bezug auf den letzten Term zu schreiben $a_n$.

$$ S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + ... + a_1 $$

  1. Wenn wir diese Sequenzen addieren, leiten wir die Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Sequenz ab.

$$ \begin{array}{r} S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + \ldots + a_n \\ + \,S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + \ldots + a_1 \\ \hline 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) \ldots \end{array} $$

  1. Weil dort sind $n$ viele Ergänzungen von $(a_1 + a_n)$ Die lange Summe wird vereinfacht als $n(a_1 + a_n)$ und lösen für $S_n$ Wir kommen zu der Formel.

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$

Leider kann ich in keiner dieser Erklärungen die Begründung finden, warum die beiden Sequenzen (gewöhnliche Reihenfolge und Umkehrung) hinzugefügt wurden. Es macht für mich Sinn, dass sie hinzugefügt wurden, aber nicht, warum dies der nächste logische Schritt bei der Ableitung der Formel war.

Die Frage.

Warum wurden die beiden Sequenzen hinzugefügt, um die Formel abzuleiten, und was zeigt das über die Natur der arithmetischen Sequenzen?

Bei meinem Versuch, dies herauszufinden, stellte ich fest, dass wir durch das Studium vieler Sequenzen das Verhältnis der Summe der Sequenz für die erste sehen können $n$ Begriffe $S_n$ und die Summe der ersten und letzten Begriffe $(a_1 + a_n)$ ist immer $\frac{n}{2}$für jede arithmetische Folge. Man könnte also möglicherweise durch Induktion sagen, dass, wenn für eine arithmetische Folge, es wahr ist, dass:

$$ \frac{S_n}{a_1 + a_n} = \frac{n}{2} $$

Dann muss es auch wahr sein, dass:

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$

Für mich erklärt dies jedoch immer noch nicht, warum die Ableitung beschließt, die beiden Sequenzen hinzuzufügen.

Antworten

2 RossMillikan Aug 16 2020 at 09:18

Mit der Kommutativität der Addition können Sie die Summe zweier Addenden permutieren. Durch Induktion der Anzahl der Addenden können Sie diese auf eine beliebige endliche Anzahl von Addenden erweitern. Mit Assoziativität können Sie sie dann gruppieren, wie Sie möchten.

Mars Aug 16 2020 at 09:14

Denken Sie an die Summe der Dreieckszahlen zurück. Um die ersten n Zahlen zu addieren, nehmen Sie die erste und die letzte und kombinieren sie, um n + 1 zu erhalten. Dann tun Sie dasselbe für die zweite und vorletzte, um n + 1 zu erhalten. Eine visuelle Darstellung dieses Prozesses finden Sie unterhttps://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number. Hier in Ihrer Frage ist Ihr Dreieck ein wenig schief und kommt nicht zu einem Punkt, aber die Idee bleibt dieselbe :).