Fermats letzter Satz $\pm1$

Nov 27 2020

Ich plane eine Herausforderung für Code Golf.SE in Bezug auf ganze Zahlen$a, b, c \ge 0$ so dass

$$a^n + b^n = c^n \pm 1$$

für eine gegebene ganze Zahl $n > 2$. Ich bin jedoch daran interessiert, ob es für eine bestimmte Zeit nicht triviale Lösungen dafür gibt$n$. Hier definiere ich "nicht triviale" Lösungen als Tripel$a, b, c$ so sind alle drei eindeutig und ungleich Null (dh zu vermeiden $(a, 1, a)$ und $(a, 0, a)$und verwandte Tripel).

Ich habe diese Frage gefunden , die eine verwandte (und umfassendere) Frage nach der Existenz solcher Tripel stellt, und die akzeptierte Antwort besagt

Ich denke das wenn $n\ge5$ (und unter der Annahme der ABCD-Vermutung), dann für jede $k$, Die gleichung $$ a^n + b^n - c^n = k $$ hat nur endlich viele Lösungen $a,b,c\in\mathbb{Z}$ mit $|a|,|b|,|c|$ verschieden und ungleich Null.

Dies gibt jedoch nicht vollständig an, ob es eine ungleich Null Anzahl unterschiedlicher, nicht Null-Lösungen gibt.

Dies ist ein Programm, das versucht, solche Tripel zu finden, mit$0 \le a, b, c \le 100$, eine Eingabe gegeben $n$, aber bisher hat es auch keine gefunden $n = 4$ oder $n = 5$und es tritt eine Zeitüberschreitung auf, wenn Sie die Obergrenze um einen signifikanten Betrag erhöhen.

Daher lautet meine Frage:

  • Kann gezeigt werden, dass für alle ganzen Zahlen $n > 2$, Die gleichung $a^n + b^n = c^n \pm 1$ hat mindestens 1 nicht triviale Lösung, z $a, b, c \ge 0$?
  • Wenn nicht, wird der Bereich für erweitert $a, b, c$ zu $\mathbb{Z}$ dies beeinflussen oder ändern?

Antworten

14 RobertIsrael Nov 27 2020 at 02:46

[EDITED] Es ist wahrscheinlich, dass es überhaupt keine Lösungen für gibt $n \ge 4$. Zum$n \ge 5$Eine Lösung wäre ein Gegenbeispiel zur Vermutung von Lander, Parkin und Selfridge . Das beste FLT "Near Miss", das ich kenne, ist$13^5 + 16^5 = 17^5 + 12$.

5 Zhi-WeiSun Nov 29 2020 at 07:03

In einer Nachricht " Eine Vermutung im Zusammenhang mit Fermats letztem Satz ", die am 26. September 2015 an die Liste der Zahlentheorien gesendet wurde, schrieb ich Folgendes:

1936 entdeckte K. Mahler das $$(9t^3+1)^3 + (9t^4)^3 - (9t^4+3t)^3 = 1.$$ Deutlich, $$|1^n+1^n-2^n| = 2^n-2\ \mbox{for every}\ n = 4,5,6,\ldots$$ und $$13^5+16^5-17^5 = 371293+1048576-1419857 = 12 < 2^5-2.$$

Hier berichte ich über meine folgende Vermutung, die als weitere Verfeinerung von Fermats letztem Satz angesehen werden kann.

KONJEKTUR (24.-25. September 2015). (i) Für beliebige ganze Zahlen$n > 3$ und $x,y,z > 0$ mit $\{x,y\}\not= \{1,z\}$, wir haben $$|x^n+y^n-z^n|\ge2^n-2,$$

es sei denn $n = 5$, $\{x,y\} = \{13,16\}$ und $z = 17$.

(ii) Für beliebige ganze Zahlen $n > 3$ und $x,y,z > 0$ mit $z\not\in\{x,y\}$gibt es eine Primzahl $p$ mit $$x^n+y^n < p < z^n\ \ \mbox{or}\ \ z^n < p < x^n+y^n, $$

es sei denn $n = 5$, $\{x,y\} = \{13,16\}$ und $z = 17$.

(iii) Für alle ganzen Zahlen $n > 3$, $x > y \ge0$ und $z > 0$ mit $x\not=z$Es gibt immer eine Primzahl $p$ mit
$$x^n-y^n < p < z^n\ \ \mbox{or}\ \ z^n < p < x^n-y^n. $$

Ich habe diese neue Vermutung über Mathematica überprüft. Zum Beispiel habe ich Teil (i) der Vermutung für überprüft$n = 4,\ldots,10$ und $x,y,z=1,\ldots,1700$.