Finde eine Funktion $f$ so dass $\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ existiert, aber $ \lim_{x\to{}0}{f(x)}$nicht. [Duplikat]

Dec 28 2020

Kontext:

Ich aktualisiere einige Analysen und gehe derzeit zu den Übungen in M. Spivaks Kalkülbuch, insbesondere zu Kapitel 5 über Grenzen. Alles lief gut, bis ich auf diese Frage stieß. Ich habe einige Zeit ohne Glück darüber nachgedacht.

Frage: "Geben Sie ein Beispiel wo$\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ existiert, aber $\lim_{x\to{}0}{f(x)}$ nicht."

Meine Versuche:

Eine frühere Frage hat das gezeigt $\lim_{x\to{}0}{f(x^3)}=\lim_{x\to{}0}{f(x)}$, was meiner Meinung nach funktioniert, weil wir die dritte Wurzel jeder reellen Zahl finden können (was im Epsilon-Delta-Beweis dafür nützlich war). Was mich glauben lässt, dass das oben Genannte fehlschlägt, weil wir negative Realzahlen nicht quadrieren können. Dies führte mich dazu, mit Funktionen herumzuspielen$\sqrt{x}$ und Nutzung seiner "Undefiniertheit" für die Negative.

Ich habe mit angefangen $f(x)=\sqrt{x-1}$ das hat eindeutig eine undefinierte Grenze bei $0$. Aber das ist natürlich nicht anders (unter Berücksichtigung der Grenze bei$0$ das heißt) zu $f(x^2)$.

Irgendwelche Hinweise? Ich habe das Gefühl, etwas so Einfaches zu übersehen.

Antworten

6 HagenvonEitzen Dec 28 2020 at 20:49

$$\begin{align}f\colon \Bbb R\setminus\{0\}&\to \Bbb R\\x&\mapsto \frac x{|x|}\end{align}$$

1 kam Dec 28 2020 at 22:07

Ich habe mir ein anderes Beispiel ausgedacht, obwohl ich die Antwort von Hagon von Eitzen gesehen habe.

Wir können wählen $f(x)=\text{floor}(x)$.