finde Grenze von $\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+…+\sqrt[n]{n}}{n}$ mit Squeeze-Theorem [Duplikat]
Ich versuche mit dem Squeeze-Theorem zu beweisen, dass die Grenze der folgenden Reihe gleich 1 ist:
$$\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+...+\sqrt[n]{n}}{n}$$
Für die linke Seite der Ungleichung habe ich getan:
$$\frac{1+\sqrt{1}+\sqrt[3]{1}+...+\sqrt[n]{1}}{n} < \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+...+\sqrt[n]{n}}{n}$$
Für die rechte Seite habe ich zunächst folgendes gemacht:
$$\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+...+\sqrt[n]{n}}{n} < \frac{n\sqrt[n]{n}}{n}$$
Aber dann wurde mir klar, dass es nicht wahr ist und dass die Richtung dieser Ungleichung das Gegenteil ist.
Haben Sie eine Idee, welche Serie mit Limit 1 größer ist als die Originalserie?
Vielen Dank!
Antworten
Sie möchten einige Dinge darüber wissen, wie groß $\sqrt[n]{n}$ist. Die wichtigsten zu beweisenden Fakten sind:
- Zum $n$ eine positive reelle Zahl, die zunimmt, wenn $n < e$ und abnehmend wenn $n>e$. Für ganze Zahlen$3^{1/3} \approx 1.44$ ist der größte Wert mit $2^{1/2} \approx 1.41$ den zweiten Platz einnehmen.
- Wie $n \to \infty$, $\sqrt[n]{n} \to 1$. Eine genauere Schätzung von$\sqrt[n]{n}$ wie $n \to \infty$ ist $1 + \frac{\log n}{n}$, aber wir werden es nicht brauchen.
Wir berechnen also im Durchschnitt ein paar große Begriffe und viele, viele Begriffe in der Nähe $1$. Ein guter Weg, um mit einer solchen Situation mit dem Squeeze-Theorem umzugehen, besteht darin, in zwei Teile zu trennen:$$ \frac1n \sum_{k=1}^n \sqrt[k]{k} = \frac1n \sum_{k=1}^{\sqrt n}\sqrt[k]k + \frac1n \sum_{k=\sqrt{n}+1}^{n}\sqrt[k]k. $$ Was können wir über diese beiden Teile sagen?
- In der ersten Summe haben wir $\sqrt n$ Begriffe, von denen jeder höchstens ist $3^{1/3}$. Die Summe ist also höchstens$3^{1/3} \sqrt n$und wir teilen uns durch $n$. Diese Summe geht an$0$.
- In der zweiten Summe haben wir fast $n$ Begriffe, von denen jeder kleiner als ist $\sqrt[k]{k}$ zum $k = \sqrt n$. Sie summieren sich also auf weniger als$n \sqrt[k]{k}$. Wenn wir durch teilen$n$, wir bekommen $\sqrt[k]{k}$ wo $k=\sqrt n$und das nähert sich $1$ wie $n \to \infty$.
(Der spezifische Cutoff von $\sqrt n$ ist sehr flexibel: jede Funktion $1 \ll f(n) \ll n$ würdest du.)
Wie in dieser Antwort gezeigt , sagt der Binomialsatz, dass für$n\ge1$, $$ \begin{align} 1\le n^{1/n} &\le1+\sqrt{\frac2n}\tag{1a}\\ &\le1+\frac{2\sqrt2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\tag{1b}\\[3pt] &=1+2\sqrt2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\tag{1c} \end{align} $$ So, $$ \frac nn\le\frac1n\sum_{k=1}^nk^{1/k}\le\frac1n\left[n+2\sqrt2\sum_{k=1}^n\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\right]\tag2 $$ und, weil die Summe auf der rechten Seite von $(2)$ Teleskope haben wir$$ 1\le\frac1n\sum_{k=1}^nk^{1/k}\le1+\frac{2\sqrt2}{\sqrt{n}}\tag3 $$auf die wir den Squeeze-Satz anwenden können .
Dies ist keine vollständige Antwort auf die Frage, aber viele Antworten implizieren, dass die Funktion $n\mapsto n^{1/n}$nimmt streng zu. Das ist nicht der Fall. Um das zu sehen:
Lassen $y=x^{1/x}$. Dann$\ln y=\frac 1x \ln x$ so $\frac{y'}{y}=\frac{1}{x^2}(1-\ln x)$. Schon seit$y>0$Dies impliziert, dass $y$ nimmt weiter zu $(0,e)$ und abnehmend auf $(e,\infty)$.
Verwenden Sie daher nicht die Obergrenze von$n^{1/n}$.
Man kann die folgenden zwei Tatsachen kombinieren:
1. Wenn$a_n\to a,\,$ dann $\,\frac{1}{n}(a_1+\cdots+a_n)\to a$.
2. $\sqrt[n]{n}\to 1$.
Eine andere Möglichkeit, dies zu zeigen, ist die folgende: $$ \sqrt[2k]{k}=1+a_k\Longrightarrow \sqrt{k}=(1+a_k)^{k}\ge 1+ka_k \Longrightarrow 0\le a_k<\frac{1}{\sqrt{k}} $$ und daher $$ 1<\sqrt[n]{n}=(1+a_n)^2=1+2a_n+a_n^2<1+\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\le 1+\frac{3}{\sqrt{n}} $$ und somit $$ 1<\frac{1}{n}(1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt[n]{n})<1+\frac{3}{n}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \\ <1+\frac{3}{n}\cdot (2\sqrt{n}+1)\to 1. $$ Es bleibt zu zeigen, dass $$ 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}+1 $$ was leicht induktiv gemacht werden kann.
Zuallererst haben wir für jeden $ n\in\mathbb{N}^{*} $, folgende : $$ \sqrt[n]{n}=1+\frac{\ln{n}}{n}\int_{0}^{1}{n^{\frac{x}{n}}\,\mathrm{d}x} $$
Schon seit : \begin{aligned}0\leq\int_{0}^{1}{n^{\frac{x}{n}}\,\mathrm{d}x}&\leq n^{\frac{1}{n}}\\ &\leq 2\end{aligned}
Wir haben : \begin{aligned} 1\leq \sqrt[n]{n}\leq 1+\frac{2\ln{n}}{n}&=1+\frac{4\ln{\sqrt{n}}}{n}\\ &\leq 1+\frac{4\sqrt{n}}{n}= 1+\frac{8}{2\sqrt{n}}\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \leq1+\frac{8}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} \end{aligned}
Das gilt für jeden $ n\in\mathbb{N}^{*} $, was bedeutet gegeben $ n\in\mathbb{N}^{*} $, wir haben : \begin{aligned} 1\leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{\sqrt[k]{k}}&\leq 1+\frac{8}{n}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}} \\ &\leq 1+\frac{8}{n}\sum_{k=1}^{n}{\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)}\\ &\leq 1+\frac{8}{\sqrt{n}} \end{aligned}
Unter Verwendung des Quetschsatzes wäre die Grenze also $ 1 \cdot$