finden $f(x,y)$ das erfüllt die Tangentialebenengleichung

Nov 19 2020

F: Geben Sie ein Beispiel für eine Funktion $f(x,y)$ Kontinuierliche partielle Ableitungen, die Folgendes erfüllen:

  1. $z=f(x,y)$ ist kein Flugzeug
  2. $z=f(x,y)$ geht durch den Punkt $(6,4,3)$
  3. Die Tangentialebene zur Oberfläche $z=f(x,y)$ am Punkt $(6,4,3)$ ist $$ -4(x-6) +1(y-4) +z -3 = 0 \\~\\ $$

Mein Standpunkt: Wenn wir uns die Tangentialebenengleichung ansehen, können wir Folgendes feststellen: $$ G(x) = f(x,y) -z \\ ~\\ \nabla G(6,4,3) = (-4,1,1) $$ Und ich weiß nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Ich kann über unzählige zufällige Optionen nachdenken, aber wie kann dieses Problem gelöst werden?

Antworten

1 Jan-MagnusØkland Nov 19 2020 at 13:10

Von der algebraischen Geometrie bin ich an die Tangentenkegelstrategie gewöhnt, um die Tangentialebene (oder Linie) einer Sorte zu finden, die implizit durch eine (oder beispielsweise zwei) Polynomgleichung (en) gegeben ist. In seiner einfachsten Form läuft diese Methode darauf hinaus, ein Polynom um einen Punkt zu schreiben (oder in den Ursprung zu übersetzen) und das Polynom dort zu untersuchen. Wenn Ihr Punkt auf der Sorte (Lesefläche) liegt, verschwindet der konstante Term. Die Nullmenge der linearen Terme gibt die Tangentialebene usw. an. Die Kehrseite davon ist, dass Sie, wenn Sie die Tangentialebene haben, Terme höherer Ordnung um den Punkt hinzufügen können, um Flächen zu erhalten, die diese Ebene als Tangentialebene haben. Und wenn Sie keine Begriffe höherer Ordnung hinzufügen$(z-3)$ es wird weiterhin in Polynomen als ausgedrückt werden können $z=f(x,y).$

Eine der einfacheren Möglichkeiten zur Beantwortung Ihrer Frage ist dann

$$(x-6)^2+(y-4)^2-4(x-6) +1(y-4) +1(z-3) = 0.$$