Finden Sie den Durchschnitt der Zahl $n \sin n^\circ$ zum $n=2,4,6\cdots,180$ [Duplikat]
Ich wurde in einer Prüfung gebeten, den Durchschnitt der Anzahl zu ermitteln: $$n \sin n^\circ$$ zum $n$=$2,4,6,\cdots,180$
Ich habe im Grunde viel mit Summenprodukten versucht oder die Eingaben gepaart ... aber am Ende kann ich keine Möglichkeit finden, es zu lösen. Kann mir jemand bei dem Ansatz helfen?
Antworten
Schon seit $\sin(180^\circ - \theta) = \sin(\theta)$, $\sin{90^\circ} = 1$, und $\sin{180^\circ} = 0$können wir die Summe schreiben als $$ (2 \sin{2^\circ} + 178 \sin{2^\circ}) + (4 \sin{4^\circ} + 176 \sin{4^\circ}) + \ldots + (88 \sin{88^\circ} + 92 \sin{88^\circ}) + 90\text. $$
Um den Durchschnitt zu erhalten, dividieren Sie durch die Anzahl der Begriffe. $90$, und bekomme $$ 2 \sin{2^\circ} + 2 \sin{4^\circ} + \ldots + 2 \sin{88^\circ} + 1\text.\tag{*} $$
Jetzt, $\cos(\theta - 1^\circ) - \cos(\theta + 1^\circ) = 2 \sin\theta \sin 1^\circ$. Deshalb,$$ 2\sin\theta = \frac{\cos(\theta - 1^\circ) - \cos(\theta + 1^\circ)}{\sin{1^\circ}}\text.\tag{**} $$
Wenn Sie einstecken $\text{(**)}$ in $\text{(*)}$, die meisten von den $\cos$ Bedingungen stornieren und Sie bleiben mit $$ \frac{\cos{1^\circ} - \cos{89^\circ}}{\sin{1^\circ}} + 1 = \frac{\cos{1^\circ} - \sin{1^\circ}}{\sin{1^\circ}} + 1 = \color{red}{\cot{1^\circ}}\text. $$
\begin{align} \sum_{r=1}^{90}2r\sin\left(\dfrac{2r\pi}{180}\right)&=2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)+2\sum_{r=1}^{45}(90-r)\sin\left(\pi-\dfrac{r\pi}{90}\right)\\ &=2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)+180\sum_{r=1}^{45}\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)-2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)\\ &=180\times\sum_{r=1}^{45}\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right) \end{align} Wenden Sie nun die Sinussumme der AP-Formel an und Sie sind fertig!