Finden $\sup _\limits{Q \in M_{4\times 2} (\mathbb{R}), Q^{T} Q=I_{2}} \operatorname{tr}\left(Q^{T} A Q\right)$ [Duplikat]

Question

Lassen $$ A:=\left[\begin{array}{llll} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \end{array}\right] $$ Finden $\sup _\limits{Q \in M_{4\times 2} (\mathbb{R}), Q^{T} Q=I_{2}} \operatorname{tr}\left(Q^{T} A Q\right)$, wo $M_{4 \times 2}(\mathbb{R})$ repräsentiert die Menge aller Matrizen der Größe $4\times 2$.

ich weiß, dass $\mathrm{tr}A=\sum _i A_{ii}$, aber wie können wir mit dieser Obergrenze umgehen? Es ist offensichtlich das$Q^T AQ$ ist ein $2\times 2$ Matrix, aber ich weiß nicht, wie der Zustand ist $Q^TQ=I_2$Hilfe. Gibt es auch Hintergründe für dieses Problem? Ich sehe selten (lineare Algebra-) Probleme, bei denen der obere Teil nach einer Spur gefragt wird, und ich hoffe, dass ich (wenn möglich) weitere Informationen über diese Art von Problemen erhalten kann.

Answer 1

$A$ ist positiv definitiv und seine vier Eigenwerte sind $2,4,4,8$. Von Neumanns Spurenungleichung gibt$$ \operatorname{tr}(Q^TAQ)\le\sum_{i=1}^2\sigma_i(Q^T)\sigma_i(AQ)=\sum_{i=1}^2\sigma_i(A)=\sum_{i=1}^2\lambda_i^\downarrow(A)=8+4=12. $$ Beachten Sie alternativ, dass $Q^TAQ$ ist eine Hauptuntermatrix von $U^TAU$ für eine orthogonale Matrix $U$. Durch Cauchys Interlacing-Ungleichung für umrandete Submatrizen hermitischer Matrizen oder durch Courant-Fischer-Minimax-Ungleichung haben wir$\lambda_i^\downarrow(Q^TAQ)\le\lambda_i^\downarrow(U^TAU)=\lambda_i^\downarrow(A)$. Deshalb$\operatorname{tr}(Q^TAQ)=\sum_{i=1}^2\lambda_i^\downarrow(Q^TAQ)\le\sum_{i=1}^2\lambda_i^\downarrow(A)=12$.

Offensichtlich gelten Gleichheiten oben, wenn die beiden Spalten von $Q$ sind zwei Einheitseigenvektoren, die den Eigenwerten entsprechen $8$ und $4$ beziehungsweise.

Answer 2

Hier ist eine elementarere Lösung.
Lassen$Q=\begin{bmatrix}Q_1\\Q_2\end{bmatrix}$. Dann$$I_{2\times2}=Q^TQ=\begin{bmatrix}Q_1^T Q_2^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Q_1\\Q_2\end{bmatrix}=Q_1^TQ_1+Q_2^TQ_2$$ $$Q^TAQ=\begin{bmatrix}Q_1^T Q_2^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B&0\\0&2B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Q_1\\Q_2\end{bmatrix}=Q_1^TBQ_1+2Q_2^TBQ_2$$ Beachten Sie, dass $Q_1^TQ_1$ und $Q_2^TQ_2$ sind gleichzeitig diagonalisierbar, mit nicht negativen Eigenwerten, die zu eins addieren, dh $Q_1^TQ_1=PD_1P^T$, $Q_2^TQ_2=P(I-D_1)P^T$ mit $P$senkrecht.
Da das Problem darin besteht, die Spur der Summe zu maximieren, deren beide Begriffe einander ähnlich sind, ist es optimal zu wählen$Q_1=0$. Dann$Q_2$ ist orthogonal und die maximale Spur ist $2\mathrm{tr}B=2\times6=12$.