Folland Frage 6.4 Probleme beim Schätzen der Norm

Question

Die Frage lautet wie folgt:

Wenn$1\leq p<r\leq \infty$, Beweise das$L^p+L^r$ist ein Banachraum mit Norm$\lVert f\rVert= \inf\{\lVert g\rVert_p+\lVert h\rVert_r\,|\, f=g+h\in L^p+L^r\}$, und beweisen Sie das für$p<q<r$, die Inklusionskarte$L^q\to L^p+L^r$ist kontinuierlich.

Also, ich habe es geschafft zu beweisen$\lVert \cdot\rVert$wirklich eine Norm ist und dass das Ergebnis ein Banachraum mit der gegebenen Norm ist, aber ich habe Probleme mit dem Kontinuitätsteil. Gegeben$f\in L^q$, betrachtete ich das Set$A=\{x\in X\, | \, |f(x)|>1\}$, und die Funktionen$f\cdot 1_A\in L^p$und$f\cdot 1_{A^c}\in L^r$(Ich habe diese Einschlüsse bereits gezeigt). Womit ich Probleme habe, ist, die Normen angemessen einzuschätzen. Das habe ich gefunden (vorausgesetzt$r<\infty$)\begin{align} \lVert f\rVert \leq \lVert f\cdot 1_A\rVert_p + \lVert f\cdot 1_{A^c}\rVert_r \leq \lVert f\cdot 1_A \rVert_q^{q/p} + \lVert f\cdot 1_{A^c} \rVert_q^{q/r} \end{align}Von hier aus bin ich mir nicht sicher, wie ich eine obere Grenze des Formulars erhalten soll$C\lVert f\rVert_q$, für einige konstant$C$. Beachten Sie, dass ich diese Antwort gesehen habe , aber ich bin mir nicht sicher, wie die letzten paar Schätzungen entstehen (insbesondere warum$|f\cdot 1_A|^p\leq |f\cdot 1_A|^q$impliziert$\lVert f\cdot 1_A\rVert_p\leq \lVert f\cdot 1_A\rVert_q$, und ebenso für die$r$Begriff). Jede Hilfe ist willkommen.

Answer 1

Du bist schon ziemlich weit!

Erinnern Sie sich daran, dass Sie, um die Stetigkeit einer linearen Abbildung zu zeigen, nur zeigen müssen, dass sie bei stetig ist$0$

Wenn Sie schätzen$\lVert f\cdot 1_A \rVert_q^{q/p} + \lVert f\cdot 1_{A^c} \rVert_q^{q/r}$durch$\lVert f \rVert_q^{q/p} + \lVert f\rVert_q^{q/r}$, dann haben wir$$ \| f \|_{L^p+L^r} \to 0 \quad\text{for}\; \|f\|\to0. $$Somit ist die Inklusion stetig an$0$und damit kontinuierlich.