Frage zur existenziellen Instanziierung
Ich hatte einige Probleme, die existenzielle Instanziierung zu verstehen. In meinem Lehrbuch (Rosen - Diskrete Mathematik und ihre Anwendungen) heißt es über existenzielle Instanziierung:
Existenzielle Instanziierung ist die Regel, die es uns ermöglicht zu schließen, dass es in der Domäne ein Element c gibt, für das P (c) wahr ist, wenn wir wissen, dass ∃xP (x) wahr ist. Wir können hier keinen beliebigen Wert von c auswählen, sondern es muss ac sein, für das P (c) wahr ist. Normalerweise wissen wir nicht, was c ist, nur dass es existiert. Da es existiert, können wir ihm einen Namen (c) geben und unsere Argumentation fortsetzen.
Dies ist für mich für bestimmte existenzielle Aussagen sinnvoll.
Betrachten Sie zum Beispiel die Aussage $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x + 1 = 2)$. Es gibt nur eine ganze Zahl, die die Satzfunktion macht ($x + 1 = 2$) wahr (nämlich $1$). Daher macht es für mich Sinn, dass ein neues Symbol$c$ kann erstellt werden, um "die eine Ganzzahl zu benennen, die macht $x + 1 = 2$ wahr".
Beachten Sie jedoch die Aussage $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x * 0 = 0)$. Es gibt viele ganze Zahlen, die die Satzfunktion ausmachen ($x * 0 = 0$) wahr (z. $1$, $2$, $3$).
In diesem Fall, wenn wir ein neues Symbol erstellen $c$ist dieses Symbol, das "eine der ganzen Zahlen nennt, die macht $x * 0 = 0$ true "? Ich finde das etwas mehrdeutig, also habe ich mich gefragt, ob ich die Bedeutung dieses Symbols richtig verstanden habe.
Bitte klären Sie und danken Sie für Ihre Zeit.
Antworten
Beachten Sie jedoch die Aussage $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x * 0 = 0)$. Es gibt viele ganze Zahlen, die die Satzfunktion ausmachen ($x * 0 = 0$) wahr (z. $1$, $2$, $3$).
In diesem Fall, wenn wir ein neues Symbol erstellen $c$ist dieses Symbol, das "eine der ganzen Zahlen nennt, die macht $x * 0 = 0$ wahr"?
Ja, genau das ist es. Also .. obwohl die Verwendung von$c$schlägt vor, dass wir genau wissen, über welches Objekt wir sprechen, dies ist in der Tat nicht der Fall. Wir wissen immer noch nur, dass es mindestens ein Objekt gibt, das die fragliche Formel erfüllt. Aber um unsere weiteren Überlegungen anstellen zu können, müssen wir in der Lage sein, über „eines dieser Objekte“ zu sprechen, und dafür verwendet dieses System eine individuelle Konstante ... obwohl Sie natürlich sicherstellen müssen, dass diese sehr konstant ist wurde an keiner anderen Stelle im Beweis bereits verwendet, um auf ein anderes Objekt zu verweisen.
Bitte beachten Sie, dass es andere formale Beweissysteme gibt, die nicht verwendet werden $c$ In diesem Fall aber behalten Sie die Variable als Variable bei, was den Vorteil hat, dass Sie tatsächlich nicht wissen, um welches spezifische Objekt es sich handelt ... aber der Nachteil ist, dass Sie jetzt Linien im Beweis erhalten, dass, wenn sie genommen werden außerhalb des Kontextes des restlichen Beweises hätte eine freie Variable ... und das ist in der Tat Nachteil genug für einige Leute, stattdessen Konstanten zu verwenden.
Ich habe manchmal gedacht, dass eine Möglichkeit, mit all dem umzugehen, darin besteht, eine dritte Reihe von Möglichkeiten zu haben, auf andere Objekte als Konstanten und Variablen zu verweisen: Symbole, die Sie tatsächlich für diese sehr existenzielle Instanziierung verwenden würden und die ein Objekt mit bezeichnen Einige Eigenschaften, obwohl wir nicht wissen, welche ', dh nicht völlig willkürlich (wie eine normale Variable), aber auch nicht spezifisch (wie eine Konstante). Ich habe noch nie so etwas in formalen Systemen gemacht.