Gesamtfläche unendlicher Kreise, die in einem gleichseitigen Dreieck verschachtelt sind.

Question

Wenn der Radius des größeren Kreises 1 ist, was ist die Gesamtfläche der unendlichen Kreise im obigen Bild?

Ich weiß, wie ich einen Teil des Problems lösen kann, indem ich die Schritte auf dieser Seite befolge .

Aber das Problem sind die verbleibenden Kreise. Ich habe versucht, etwas Algebra zu machen, indem ich einen Spezialfall (wo einer der Kreise eine Linie ist) des Satzes von Descarte verwendet , aber ich habe kein Muster gefunden, um eine Reihe zu schreiben und dann die Summe zu finden.

Wie finde ich den Bereich der verbleibenden Kreise, die im Bild unten rot markiert sind?

Answer 1

Nach der Theorie der Fordkreise genügen berührende Kreise$$\frac{1}{\sqrt{r_M}}=\frac{1}{\sqrt{r_L}}+\frac{1}{\sqrt{r_R}}$$

Im Fall des gegebenen Problems berührt jeder Kreis zwei eindeutige größere Kreise. Wenn wir uns nur auf einen Zweig der Menge konzentrieren (ein Drittel der Kreise), hat der zentrale Kreis einen Radius$1$und der nächstgrößere Kreis hat einen Radius$1/3$durch Ähnlichkeit. Ihr Berührungskreis hat einen Radius$1/(1+\sqrt3)^2$nach obiger Formel.

Jeder Kreis kann durch ein Paar ganzer Zahlen dargestellt werden$(m,n)$das ist die Summe der Indizes seiner Eltern und hat einen Radius$r_{n,m}$gegeben von$\frac{1}{(m+n\sqrt{3})^2}$, unter Verwendung der obigen Formel. Das folgende Diagramm stellt nur eine Kreisfamilie dar, die von der größten erzeugt wird$(1,0)$und die nächstgrößere$(0,1)$. Jeder Scheitelpunkt im Baum stellt einen Raum zwischen den Kreisen dar und jede Kante stellt die Tangente dar, die zwei Kreise berührt.

$\hspace{2cm}$

Die nächste Familie links wird generiert von$(0,1)$und$(3,0)$weil jeder Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Linie liegt, die vom Mittelpunkt des Dreiecks zum linken Eckpunkt verläuft, einen Radius hat$1/3^n$(vertreten durch$(3^{n/2},0)$oder$(0,3^{(n-1)/2})$).

Tabellieren$1/\sqrt{r_{n,m}}$für die erste Kreisfamilie ergibt:

Familie 1:$$\begin{matrix} 1\\ 1+\sqrt3\\ 1+2\sqrt3&2+\sqrt3\\ 1+3\sqrt3&2+3\sqrt3&3+2\sqrt3&3+\sqrt3\\ \cdots\end{matrix} $$

Es folgt ein Mathematica-Skript zum Erzeugen dieser Paare:

level[n_] := level[n] = Riffle[level[n - 1], Most@level[n - 1] + Rest@level[n - 1]]
level[1]={{1,0},{0,1}}
sum[n_] := Plus @@ ((1/(#[[1]] + #[[2]] Sqrt[3.])^4) & /@ level[n])
area1 = Pi(sum[25] - 1)

(Der mittlere Kreis wird abgezogen.)

Ein numerischer Wert für die Fläche der ersten Familie ist$A_1\approx0.4550$.

Die restlichen Familien ähneln der ersten Familie, da es sich um skalierte Versionen davon handelt. Beispielsweise wird die zweite Familie generiert von$(3,0)$und$(0,1)$, ist daher ein Drittel der Familie eins in der Größe (und das neunte in der Fläche).

Somit ist die Gesamtfläche einer Filiale$B=A_1(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{9^2}+\cdots)=\frac{9}{8}A_1\approx0.5119$.

Die erforderliche Antwort für die Gesamtfläche ist$3B+\pi$, indem der zentrale Kreis hinzugefügt wird. Eine numerische Annäherung an diesen Bereich ist$4.68$, die gerade vorbei ist$90\%$des ganzen Dreiecks.