Gibt es eine nicht konstante Funktion? $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$so dass $f(x) = f(x + 1/x)$?
Ich suche eine nicht konstante Funktion$f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$so dass$f(x) = f(x + 1/x)$, oder ein Beweis dafür, dass eine solche Funktion nicht existiert.
Ersetzen$x$durch$1/x$Shows, die wir haben müssen$f(x) = f(1/x)$.
Am meisten interessiert mich die (Nicht-)Existenz von glatten Nichtkonstanten$f$.
Antworten
Es sollte unendlich viele stetige Lösungen geben, eine für jede stetige Funktion$g:[1,2]\to \mathbb{R}$mit$g(1)=g(2)$. Nach dem Auferlegen geeigneter Rand- und Differenzierbarkeitsbedingungen an$g$, können wir die Funktion glatt machen.
Lassen$x_1=1$und$x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$. Dann$1\le x_n\le n$und durch die Divergenz der harmonischen Reihe,$x_n\to\infty$als$n\to \infty$. Seit$h:t\mapsto t+\frac{1}{t}$nimmt streng zu$[1,\infty)$, jede einzelne$x\in[1,\infty)$gehört zu genau einem$[x_{n+1},x_{n+2})$und$x=h^n(y)$für genau einen$y\in[1,2)$. Dann definieren wir$f(x)=g(y)$. Verwendung der Beziehung$f(x)=f(1/x)$, dies erstreckt sich auf$(0,\infty)$. Es ist kontinuierlich, da es auf jedem kontinuierlich ist$[x_n,x_{n+1}]$und stimmt an den Endpunkten überein.