Grundlegende Homotopie-Frage
Ich fange an, das Buch "Rational Homotopy Theory" von Yves Felix, Stephen Halperin, J.-C. Thomas und ich haben eine kurze Frage zum Anfang (die nur die grundlegende Homotopietheorie im Raum und nicht einmal die rationale Homotopietheorie betrifft). Das Buch beweist ein Ergebnis, das als "Whitehead's Lifting Lemma" als Lemma 1.5 (S. 12) bezeichnet wird:
Angenommen, ein gegebenes (nicht unbedingt kommutatives) Diagramm lautet : \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ varphi} & Y \\ \ \ downarrow i & & \ \ downarrow f \\ X & \ xrightarrow {\ psi} & Z. , \ end {array} zusammen mit a mit einer Homotopie$H: A \times I \rightarrow Z$ von $\psi i$ zu $f\varphi$.
Annehmen $(X,A)$ ist ein relativer CW-Komplex und $f$ist eine schwache Homotopieäquivalenz. Dann$\varphi$ und $H$ kann jeweils auf eine Karte erweitert werden $\Phi: X \rightarrow Y$ und eine Homotopie $K: X \times I: \rightarrow Z$ von $\psi$ zu $f \Phi$.
Dann fährt das Buch mit einigen Folgerungen fort, und meine Frage lautet: Wie ist die folgende Aussage eine Folgerung aus Whiteheads Lifting Lemma?
Wenn $(X, A)$ ist ein relativer CW-Komplex und $A$ hat also den Homotopietyp eines CW-Komplexes $X$ hat den Homotopietyp eines CW-Komplexes.
Ich denke, ich könnte es schaffen, dieses Ergebnis durch den Aufbau eines CW-Komplexes zu beweisen $\tilde{X}$ von $\tilde{A}$ (ein komplexes Äquivalent zu $A$) durch Kleben von Zellen mit den beigefügten Karten von $(X, A)$und ein Ergebnis der Erhaltung von Äquivalenzen in Pushouts (wie dieses Homotopie-Äquivalenzen in Pushout-Quadrat mit Cofibration ) an jedem Skelett zu verwenden, aber ich sehe nicht, wie das obige Lemma verwendet wird, und das Ergebnis, das ich über Pushouts und Äquivalenzen benötigen würde erscheint später in dem Buch, denke ich.
Jeder Einblick ist willkommen, Prost!
Antworten
Lassen $A$ ein CW-Komplex sein und $X$ erhalten von $A$durch induktives Anheften von Zellen. Schreiben$i:A\hookrightarrow X$ für die Aufnahme.
Zu Beginn lassen $p:\widetilde X\rightarrow X$eine CW-Näherung sein (auch bekannt als zellulares Modell, siehe Th.1.4). Schon seit$A$ Ist ein CW-Komplex die schwache Äquivalenz $p$ induziert eine Bijektion $p_*:[A,\widetilde X]\xrightarrow\cong[A,X]$(siehe Co.1.6). Somit gibt es eine Karte$\widetilde i:A\rightarrow\widetilde X$ zusammen mit einer Homotopie $H:p\widetilde i\simeq i$. Betrachten Sie nun das Diagramm \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ widetilde i} & \ widetilde X \\ \ i \ downarrow & & \ \ downarrow p \\ X & \ xrightarrow {=} & X. \ end {array} Die Annahmen von Lemma 1.5 sind erfüllt, daher gibt es eine Karte$\varphi:X\rightarrow\widetilde X$ so dass $\varphi i=\widetilde i$ und $p\varphi\simeq id_X$. So$X$ ist ein (Homotopie-) Rückzug des CW-Komplexes $\widetilde X$und daraus folgt unmittelbar, dass $X$ hat CW Homotopie Typ.
Nun ist die letzte Tatsache in der genannten Allgemeinheit wahr, aber wir werden eine genauere Aussage für die aktuelle Situation treffen: Wir werden das zeigen $X$ ist Homotopie äquivalent zu $\widetilde X$ wie erwartet.
Für diesen Hinweis das $p_*:[\widetilde X,\widetilde X]\rightarrow [\widetilde X,X]$ nimmt $\varphi p$ zu $p(\varphi p)=(p\varphi)p\simeq p$. Aber weil$p$ ist eine schwache Äquivalenz die induzierte Karte ist bijektiv, also die Gleichung $p_*(\varphi p)=p_*(id_{\widetilde X})$ impliziert, dass $\varphi p\simeq id_{\widetilde X}$. Damit haben wir den Anspruch.