Harmonischer Quantenoszillator, Nullpunktsenergie und die Quantenzahl n

Question

Die Energie eines harmonischen Quantenoszillators ist gegeben als

\begin{equation} E_{qho} = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\;\;\;\;\;\; n = 0,1,2,3,... \tag{1} \end{equation}

Ich verstehe die Implikationen der Unschärferelation von Heisenberg, die es Atomen nicht erlaubt, auch nur im Stillstand zu sein$0$K. Diese Unsicherheit ist der Grund für eine gewisse Energie, die Atome besitzen$0$K - die Nullpunktsenergie (ZPE). Die meisten Texte leiten ZPE ein, indem sie anmerken, wie mit$n = 0$es bleibt noch eine Restenergie gleich$\frac{1}{2}\hbar\omega$.

Ist$n$nur eine Zahl? Wenn ja, wie hat$n = 0$irgendwas mit temperatur zu tun?

Answer 1

Die Nullpunktsenergie spielt hier keine Rolle, da Sie Ihre Referenzenergie immer frei wählen können, um welche Energie Sie Ihren Hamiltonian verschieben können$\frac{1}{2}\hbar\omega$ $$ H = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2-\frac{1}{2}\hbar\omega, $$und die Physik des Systems bleibt gleich (die Wellenfunktion bleibt gleich). Da es sich bei dieser Wellenfunktion nicht um eine bei Null liegende Delta-Funktion handelt (wie in der klassischen Mechanik), sondern weiter gespreizt, können Sie dies beispielsweise so interpretieren, dass Ihre Atome in diesem Eigenzustand des Hamiltonschen noch schwingen.

Zu deiner Frage: Ja,$n$ist nur eine Zahl, die die Energie-Eigenzustände vom niedrigsten zum höchsten bezeichnen soll. Die Temperatur spielt nur indirekt eine Rolle. Um eine Temperatur zu definieren, müssen Sie ein thermisches Ensemble (Sie brauchen mehr als ein Teilchen, um es richtig zu machen) mit einer zugehörigen Dichtematrix definieren$\rho$. Eine übliche Wahl dafür ist gegeben durch$$ \rho = \frac{1}{z}\sum_{i=1}^{\infty}|i\rangle e^{-E_{i}/kT} \langle i|, z = \sum_{i=1}^{\infty}e^{-E_i/kT} $$wo$|i\rangle$die Energieeigenzustände und bezeichnen$E_i$die entsprechenden Energieeigenwerte (in diesem Fall für den harmonischen Oszillator).$T$ist Temperatur,$k$nur eine Konstante. Sie können (ähnlich wie bei einem Wellenfunktionsausdehnungskoeffizienten) diesen Faktor interpretieren$e^{-E_{i}/kT}/z$ist eine Wahrscheinlichkeit, im Staat zu sein$|i\rangle$. Das sieht man wann$T\rightarrow 0$, bleibt nur der Koeffizient mit dem niedrigsten Energieeigenwert übrig (jeder Koeffizient mit höherem$E_i$-Wert verschwindet schneller). Daraus lässt sich ableiten, dass sich das System für ein allgemeines System (nicht nur für Ihr harmonisches Oszillator-Beispiel) im Zustand der niedrigsten Energie befindet, wenn$T\rightarrow 0$(solange Sie ein thermisches Ensemble haben).

Answer 2

Die Quantenzahl n repräsentiert einfach die verschiedenen Energieniveaus, die durch den harmonischen Oszillator gegeben sind.

$\mathbf{n=0}$entspricht keiner gegebenen Temperatur, aber seine relative Besetzung mit anderen Energieniveaus entspricht einer gegebenen Temperatur. Wenn die Temperatur eines Systems ansteigt, können die höheren Energieniveaus in größerer Anzahl besetzt werden. Ebenso besteht bei 0 K die Anforderung, dass nur das niedrigste Energieniveau belegt wird.

Answer 3

Ist$n$nur eine Zahl?

$n$ist in der Tat eine Zahl. Ist es nur eine Zahl? Nun, es ist eine Quantenzahl , was bedeutet, dass es die bezeichnet$n^{\textrm{th}}$angeregtes Energieniveau des Systems (dh die$(n+1)^{\textrm{th}}$kleinster Eigenwert des Hamiltonoperators des Systems, mit$n=0$entsprechend dem kleinsten Eigenwert,$n=1$entsprechend dem zweitkleinsten Eigenwert usw.

Wenn ja, wie dann$n = 0$hat das was mit der temperatur zu tun?

Die Dichtematrix eines Systems mit dem Potenzial des harmonischen Oszillators wird oft in Form des Hamilton-Operators angegeben$H$durch:

\begin{equation} \rho = \frac{e^{-\beta H}}{\textrm{tr}\left(e^{-\beta H}\right)},~~~~~~~~ \beta\equiv \frac{1}{k_BT}. \tag{1} \label{eq:boltzmann} \end{gleichung}

Die Diagonalen der Dichtematrix von links oben nach rechts unten geben dann die Wahrscheinlichkeit an, in der das System zu finden ist$n=0,1,2,\ldots$, was bedeutet, dass wenn das obere linke Element der Dichtematrix ist$p$, die Wahrscheinlichkeit, dass das System auf dem entsprechenden Energieniveau gefunden wird$n=0$ist$p$. Wann$T=0$wir haben, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in einem beliebigen angeregten Zustand befindet ($n>0$) wird durch die abklingende Exponentialfunktion extrem unterdrückt, und Sie können sich darauf verlassen, das System bei der zu finden$n=0$Stufe. Wann$T$größer ist, werden die angeregten Zustände wahrscheinlicher besetzt. Als$T$Ansätze$+\infty$, wird die Exponentialfunktion nahe 1 und wir nähern uns einem Szenario, in dem die Wahrscheinlichkeiten für jeden Zustand gleich werden$n$.

Gl. 1 in dieser Antwort ist auch:

• Gl. 1 in dieser Antwort: Umwandlung der Adsorptionsbindungsenergie in absolute Temperatur
• Gl. 3 in dieser Antwort: Kann ich die Differenz der freien Energie in (zeitlich) benachbarten Mikrozuständen mithilfe der Zwanzig-Gleichung für Störungen der freien Energie berechnen?
• Gl. 2 in dieser Antwort: Harmonischer Quantenoszillator, Nullpunktsenergie und die Quantenzahl n

Answer 4

Ist$𝑛$nur eine Zahl?

Zusamenfassend,$n$ist die Energiequantenzahl des harmonischen Quantenoszillators.

Wenn ja, wie dann$𝑛$=$0$hat das was mit der temperatur zu tun?

Bestimmtes,$n$=$0$bedeutet, dass der harmonische Oszillator in seinem Grundzustand bleibt. Normalerweise wird angenommen, dass der Grundzustand eines Quantensystems bei einer Temperatur von Null lebt. Daher können Sie eine Verbindung zwischen finden$n=0$und Nullpunkt.

• Hier ist ein Beitrag, um über die Beziehung zwischen Nulltemperatur und Grundzustand zu sprechen.

  • https://physics.stackexchange.com/questions/294593/whats-the-relation-between-zero-temperature-and-ground-state-of-interacting-man

• Hier ist ein Beitrag, um darüber zu sprechen, wie groß das thermische Gleichgewicht ist (dies ist wichtig, um die Temperatur zu definieren):

  • https://physics.stackexchange.com/questions/311357/whats-the-size-to-talk-about-thermal-equilibrium

Möge es helfen.

Answer 5

Wie schon in mehreren anderen Antworten gesagt wurde,$n$ist nur eine Zahl, und die Einwohnerzahl der Staaten mit unterschiedlich$n$hängt von der Temperatur ab.

Ein wichtiger Punkt wurde jedoch noch nicht erwähnt. Der harmonische Quantenoszillator wird oft für die Kernbewegung herangezogen. Es ergibt sich aus der Taylorentwicklung zweiter Ordnung der Born-Oppenheimer-Kernpotentialenergiefläche$V({\bf R}) = V({\bf R}_0) + \nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} \cdot({\bf R}-{\bf R}_0)+\frac 1 2 ({\bf R}-{\bf R}_0)\cdot \nabla\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0}\cdot ({\bf R}-{\bf R}_0) + \mathcal{O}(|{{\bf R}-{\bf R}_0}|^3)$

wobei der Term erster Ordnung seit verschwindet$\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} ={\bf 0}$mindestens.

Da nimmt die räumliche Ausdehnung der Staaten mit zu$n$, wächst auch die Bedeutung anharmonischer Effekte$n$, oder mit steigender Temperatur.