Hat man $2r_{0}(n)\lesssim k_{0}(n)(\log n)^{1+1/k_{0}(n)}$?

Question

Unter Goldbachs Vermutung versuche ich, eine Obergrenze für zu finden $r_{0}(n):=\inf\{r>0,(n-r,n+r)\in\mathbb{P}^{2}\}$ das würde Cramers Vermutung verallgemeinern.

Bezeichnet mit $k_{0}(n)$ die Menge definiert als $\pi(n+r_{0}(n))-\pi(n-r_{0}(n))$, Es scheint, dass $2r_{0}(n)\lesssim k_{0}(n)(\log n)^{1+1/k_{0}(n)}$.

Gibt es eine Heuristik, die dies nahelegt, oder einen bedingten Beweis dafür?

Answer 1

Diese Vermutung ist mit Cramers Vermutung nicht vereinbar. In der Tat sagt Cramer dies für beliebig große voraus$k$ wir haben $p_{k+1}-p_k\gg(\log p_k)^2$. Lassen$n=\frac{p_{k+1}+p_{k-1}}{2}$. Dann$r_0(n)=\frac{p_{k+1}-p_{k-1}}{2}\gg(\log n)^2$während $k_0(n)=\pi(p_{k+1})-\pi(p_{k-1})=2$, so würde Ihre Vermutung vorhersagen $(\log n)^2\ll(\log n)^{3/2}$, was natürlich fehlschlägt.