Homogene PDE, Änderung der Variablen
Ich habe eine PDE $\dfrac{df}{d \xi}-\xi\dfrac{d x_1}{d \xi}=0$ homogen für $\xi$, wo $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ ist eine Funktion von $x_1,\cdots,x_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, die wiederum Funktionen von sind $\xi$ (damit, $\dfrac{df}{d \xi}$ ist eine Gesamtableitung).
ich habe auch $\xi=y/z\in\mathbb{R}$, wo $y,z\in\mathbb{R}$und man sagte, dass sobald die PDE in homogen ist $\xi$ ich habe $\dfrac{df}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=0$.
Ich habe diese Lücke verpasst. Ich stelle mir vor, dass ich die erste ODE mit multiplizieren kann$\dfrac{d\xi}{d y}=\dfrac{1}{z}$, damit
$$\dfrac{df}{d \xi}\dfrac{d\xi}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d \xi}\dfrac{d\xi}{d y}=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\dfrac{d x_i}{d\xi}\dfrac{d\xi}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\dfrac{d x_i}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=\dfrac{d f}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=0.$$
Aber ich bin mir nicht sicher. In der Tat würde ich gerne wissen, wie dies nur aus der Tatsache der Homogenität hervorgeht.
Vielen Dank.
Verwandte: Gleichheit zwischen zwei Gesamtderivaten
Antworten
Annehmen, dass $f:\textbf{R}^n\rightarrow\textbf{R}$ und $f=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ist eine Funktion von $n$Variablen. Indem ich das sage$x_i=x_i(\xi)$, dann $C:\overline{x}=\{x_1(\xi),x_2(\xi),\ldots,x_n(\xi)\}$, $\xi\in\textbf{R}$, dann $C$ ist ein dimensionales Objekt in $\textbf{R}^n$ und daher $C$ ist eine Kurve von $\textbf{R}^n$. Dann $$ \frac{df}{d\xi}=\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{dx_k}{d\xi} $$ ist die Ableitung von $f$ allong $C$ (oder Gesamtableitung von $f$ entlang der Kurve $C$). Sie haben auch die Gleichung: $$ \frac{df}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{d\xi}=0\Leftrightarrow \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{dx_k}{d\xi}=\xi\frac{dx_1}{d\xi} \tag 1 $$ Wenn $\xi=u y$, dann $\frac{d\xi}{dy}=u$. Daher $$ \frac{df}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{d\xi}=0\Leftrightarrow \frac{df}{dy}\frac{dy}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{dy}\frac{dy}{d\xi}=0\Leftrightarrow \frac{df}{dy}\frac{1}{u}-\xi\frac{dx_1}{dy}\frac{1}{u}=0\Leftrightarrow $$ $$ \frac{df}{dy}-\xi\frac{dx_1}{dy}=0.\tag 2 $$ Dies beantwortet Ihre erste Frage zur Änderung von Variablen.
Über die Homogenität
Wie auch immer, wenn $f$ Ist eine homogene Funktion, dann haben wir noch mehr
Wenn die Funktion $f$ ist graduell homogen $\lambda$. Dann einstellen$x_i=uy_i$ in Gleichung (1) haben wir (das zu wissen) $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ und $(x_1,x_2,\ldots,x_n)\rightarrow x_1$ sind homogen dh $f(uy_1,uy_2,\ldots,uy_n)=u^{\lambda}f(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ und $(ux_1)=ux_1$ Grad 1): $$ \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}(uy_1,uy_2,\ldots,uy_n)\left(u\frac{dy_k}{d\xi}\right)-\xi\left(u\frac{dy_1}{d\xi}\right)=0\Leftrightarrow $$ $$ u^{\lambda-1}\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}(y_1,y_2,\ldots,y_n)\left(u\frac{dy_k}{d\xi}\right)-\xi u\frac{dy_1}{d\xi}=0 $$ $$ u^{\lambda-1}\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}(y_1,y_2,\ldots,y_n)\frac{dy_k}{d\xi}-\xi \frac{dy_1}{d\xi}=0.\tag 3 $$ (Das liegt daran, wann $f(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$ ist graduell homogen $\lambda$, dann $\frac{\partial f}{\partial x_{j}}$ ist graduell homogen $\lambda-1$ dh $\frac{\partial f}{\partial x_j}(uy_1,uy_2,\ldots,uy_j,\ldots,uy_n)=u^{\lambda-1}\frac{\partial f}{\partial x_j}(y_1,y_2,\ldots,y_n)$). Daher wenn$\lambda=1$dann wird (3): $$ \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{dy_k}{d\xi}-\xi\frac{dy_1}{d\xi}=0.\tag 4 $$ Also wenn $f=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ist homogen vom Grad 1, dann ist Gleichung (1) homogene PDE (invariant bei jeder Transformation von Variablen der Form $x_i=uy_i$, $i=1,2,\ldots,n$).