Homotopie-Äquivalent glatte 4-Verteiler, die nicht stabil diffeomorph sind?
Denken Sie daran, dass zwei 4-Verteiler $M$ und $N$sind stabil diffeomorph, wenn vorhanden$m,n$ so dass $$M \#_n (S^2 \times S^2) \cong N \#_n (S^2 \times S^2).$$ Das heißt, sie werden diffeomorph, nachdem sie ausreichend viele zusammenhängende Summen mit genommen haben $S^2 \times S^2$.
Ich bin daran interessiert, Beispiele zu finden $M$ und $N$ die Homotopie äquivalent sind $M \simeq N$, aber wo $M$ und $N$ nicht stabil diffeomorph sein.
Ich kenne zwei Quellen für Beispiele solcher Mannigfaltigkeiten. In Beispiel 5.2.4 von
Topologische 4-Mannigfaltigkeiten mit endlicher Grundgruppe P. Teichner, Doktorarbeit, Universität Mainz, Shaker Verlag 1992, ISBN 3-86111-182-9.
Teichner konstruiert ein Paar von $M$ und $N$ wo die Grundgruppe $\pi$ ist jede endliche Gruppe mit Sylow 2-Untergruppe eine verallgemeinerte Quaterion-Gruppe $Q_{8n}$ mit $n \geq 2$.
Noch ein Paar $M$ und $N$ mit Grundgruppe wurde die unendliche Diedergruppe konstruiert in:
Auf der Sternkonstruktion für topologische 4-Mannigfaltigkeiten . P. Teichner, Proc. der Georgia International Topology Conference 1993. Geom. oben. AMS / IP Stud. Adv. Mathematik. 2 300-312 AMS (1997)
Gibt es andere bekannte Beispiele für dieses Phänomen? Es ist mir nicht gelungen, andere in der Literatur zu finden, aber dies ist nicht mein Fachgebiet. Gibt es allgemeine Ergebnisse darüber, wann dies auftreten kann?
Antworten
$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\RP}{\mathbb{RP}}$ $\RP^4$ und Capell-Shanesons Fälschung $\RP^4$, was ich bezeichnen werde $Q$sind ein Beispiel mit grundlegender Gruppe $\Z/2$. Ich weiß nicht, ob dies verallgemeinert wird, aber ich mag dieses Beispiel aus TFT-Gründen: David Reutter hat bewiesen, dass semisimple 4d-TFTs orientierte, stabil diffeomorphe nicht unterscheiden können$4$-Vielfalt, aber es gibt eine halb einfache TFT, die unterscheidet $\RP^4$ von $Q$.
Krecks modifizierte Operationstheorie bestimmt, ob zwei geschlossen sind $4$-Vielfalt $X$ und $Y$ sind $(S^2\times S^2)$-stabil diffeomorph mit Bordismus. Speziell,$X$ und $Y$ muss die gleiche stabile Normalität haben $1$-Art $\xi\colon B\to BO$. (Siehe Kreck für die Definition einer stabilen Normalen$1$-Typ.) Dann berechnet man die Menge $S(\xi) := \Omega_4^\xi/\mathrm{Aut}(\xi)$, wo $\mathrm{Aut}(\xi)$ bezeichnet die Faserhomotopieäquivalenzen von $\xi\colon B\to BO$. $X$ und $Y$ Klassen bestimmen in $S(\xi)$;; Sie sind stabil diffeomorph, wenn diese Klassen gleich sind.
Im Falle von $\RP^4$ und $Q$ist der stabile normale Typ $\xi\colon B\mathit{SO}\times B\Z/2\to BO$, wobei die Karte durch das virtuelle Vektorbündel mit Rang Null klassifiziert wird $V_{\mathit{SO}}\oplus (\sigma - 1)$;; Hier$V_{\mathit{SO}}\to B\mathit{SO}$ und $\sigma\to B\Z/2$sind die tautologischen Bündel. Ein Aufzug der Klassifizierungskarte über$\xi$ entspricht einem Stift$^+$ Struktur auf dem Tangentenbündel, also schauen wir uns an $\Omega_4^{\mathit{Pin}^+}\cong\Z/16$. Das$\mathrm{Aut}(\xi)$-Aktion auf $\Z/16$ sendet $x\mapsto \pm x$.
Kirby-Taylor wählt einen Isomorphismus$\Omega_4^{\mathit{Pin}^+}\to\Z/16$ und zeigen, dass unter diesem Isomorphismus die beiden Stifte$^+$ Strukturen auf $\RP^4$ werden an gesendet $\pm 1$und die zwei Stifte$^+$ Strukturen auf $Q$ werden an gesendet $\pm 9$. Also wenn wir senden$x\mapsto -x$bleiben diese beiden verschieden.
TFT-Exkurs: um einen 4d unorientierten TFT zu konstruieren, der unterscheidet $\RP^4$ von $Q$Beginnen Sie mit dem Stift$^+$ invertierbare TFT, deren Partitionsfunktion die ist $\eta$-Invariante, die den Isomorphismus definiert $\Omega_4^{\mathit{Pin}^+}\to\mu_{16}$ (Hier $\mu_{16}$ bezeichnet die 16. Wurzeln der Einheit in $\mathbb C$). Führen Sie dann das Integral mit endlichem Pfad über dem Stift aus$^+$Strukturen. Diese beiden Operationen werden für einmal erweiterte TFT mathematisch verstanden, so dass das Ergebnis eine einmal erweiterte (daher halb einfache) nicht orientierte TFT ist, die unterscheidet$\RP^4$ von $Q$. Ich habe darüber in einer anderen MO-Antwort etwas ausführlicher geschrieben .