Hyperconcise Math C5: Mehrere Eingaben

Der Graph einer Funktion mit n unabhängigen Eingängen (die als Funktion eines Punktes betrachtet werden können) definiert ein n-dimensionales Objekt in einem n+1-dimensionalen Raum. Beispielsweise definiert eine Funktion mit einem Eingang y = f(x) (x, y und z sind reelle Zahlen) eine Kurve (hat Länge, aber Nullfläche), während eine Funktion mit zwei unabhängigen Eingängen (z = f(x, y)) definiert eine Oberfläche (hat eine Fläche, aber kein Volumen):

Einige multivariable Funktionen sind nicht für ganze Kurven oder Bereiche im Eingabebereich definiert:

Grenzen mit mehreren Variablen (wenn die Eingaben willkürlich nahe an den Punkt kommen (a,b…), kommt die Ausgabe willkürlich nahe an eine bestimmte Zahl) haben die gleichen Eigenschaften wie Grenzen mit einer Variablen (beachten Sie, dass in jeder multivariablen Grenze einer Funktion die nur von x abhängt, können die anderen Variablen entfernt werden, um eine Ein-Variablen-Grenze zu bilden). Wenn jedoch die Grenzen entlang jeder Kurve im Eingaberaum, der (a,b,…) enthält, nicht gleich sind, „existiert die Gesamtgrenze bei (a,b,…) nicht“ (c ist eine beliebige Zahl, die nicht existiert abhängig von x):

Der Beweis, dass eine Grenze mit mehreren Variablen existiert, beinhaltet typischerweise die Verwendung von Grenzwerteigenschaften, Vereinfachung, das Ändern von Variablen oder das Squeeze-Theorem.