In einer einfachen Ableitung der Double Negation-Regel über die Negation Introduction Rule fehlt etwas.

Question

Ich zitiere Shapiros Eintrag über klassische Logik (in SEP), wobei (As) auf eine "Regel der Annahmen" verweist:

(As) Wenn ϕ ein Mitglied von Γ ist, dann ist Γ⊢ϕ.

Unsere nächsten Klauseln beziehen sich auf das Negationszeichen "¬". Die zugrunde liegende Idee ist, dass ein Satz ψ nicht mit seiner Negation ¬ψ übereinstimmt. Sie können nicht beide wahr sein. Wir nennen ein Satzpaar ψ, ¬ψ widersprüchliche Gegensätze. Wenn man ein solches Paar aus einer Annahme θ ableiten kann, kann man schließen, dass θ falsch ist, oder mit anderen Worten, man kann ¬θ schließen

(¬I) Wenn Γ1, θ⊢ψ und Γ2, θ⊢¬ψ, dann Γ1, Γ2⊢¬θ

Mit (As) haben wir das {A, ¬A} ⊢A und {A, ¬A} ⊢¬A. Also durch ¬I haben wir das {A} ⊢¬¬A . Das Gegenteil ist jedoch noch nicht der Fall. Intuitiv entspricht ¬¬θ "es ist nicht der Fall, dass es nicht der Fall ist, dass". Man könnte denken, dass letzteres äquivalent zu θ ist, und wir haben eine Regel in diesem Sinne ...

Ich sehe leicht, wie beides $A$ und $\neg A$ sind durch die (As) -Regel aus der Menge ableitbar $\{A, \neg A\}$ , aber ich kann nicht sehen, wie sich daraus ergibt, dass $\{A\}⊢¬¬A$.

Das heißt, ich verstehe nicht, auf welche Weise $\{A\}$ spielt die Rolle der Set Union $\Gamma_1, \Gamma_2$in der Erklärung der Regel kurz zuvor. Ich verstehe sogar nicht, was die Rolle spielt$\Gamma_1$, noch von $ \Gamma_2$, noch von $ \theta$.

Welche Substitutionen sollten vorgenommen werden, um in diesem Beweis eine Instanziierung der Negationseinführungsregel klar zu erkennen?

Answer 1

Sie suchen zu haben $\{A\}$sei die Vereinigung zweier Mengen. Mindestens einer muss sein$\{A\}$kann der andere sein $\{A\}$ oder $\{\}$.

Sie versuchen abzuleiten $A$ von $\neg A$ und eines der oben genannten Sets (nennen Sie es $\Gamma_1$). Schon seit,$A$ kann nicht ableiten von $\neg A$ und das Emptyset, ist aber trivial abgeleitet von $\{A\}$, das spätere ist, was dieser Satz sein soll.$$\{A\}, \neg A\vdash A$$

Sie versuchen auch abzuleiten $\neg A$ von $\neg A$ und die anderen der oben genannten Sätze (nennen Sie es $\Gamma_2$); und wie auch immer$\{A\}$ oder $\{\}$ funktioniert ... wir können entweder verwenden.$$\{\},\neg A\vdash\neg A$$

Also los geht's $$\begin{split}\Gamma_1,\theta&\vdash \varphi\\\Gamma_2,\theta&\vdash \neg \varphi\\\hline \Gamma_1,\Gamma_2&\vdash \neg\theta\end{split}\qquad\begin{split}A,\neg A&\vdash A\\\neg A&\vdash \neg A\\\hline A&\vdash \neg\neg A\end{split}$$