Integration des Drehmoments für eine Kreisstromschleife im Magnetfeld [geschlossen]

Question

Ich versuche, die Formel für das Drehmoment auf einer kreisförmigen Stromschleife innerhalb eines Magnetfelds abzuleiten. Ich weiß, die Formel lautet:

$\tau = IAB\sin{\theta}$

Wo I der Strom ist, ist B das Magnetfeld und A ist die Fläche.

Mein bisheriger Versuch:

$d\vec{F} = I\,d\vec{s}\times \vec{B} = IB\,ds\cdot\sin{\alpha}$

Wenn nun die Formel für Drehmoment lautet: $\tau=bF\sin{\theta}$, und $b = r\sin{\alpha}$, dann

$d\tau = r\cdot sin{\alpha}\cdot IB\sin{\theta}ds\cdot \sin{\alpha} = rIBsin{\theta}\cdot\sin^2{\alpha}\,ds$

Wenn ich das Integral dieser letzten Gleichung nehme, kann ich letztendlich nicht genau verstehen, wie man integriert $\sin{\alpha}^2\,ds$.

Ich denke, dass mein zugrunde liegendes Missverständnis hier liegt: Ich kann sagen, woraus das Integral besteht $d\vec{s}\times \vec{B}$wird sein, da ich den Durchmesser des Kreises kenne. Ich denke jedoch, dass es keine Möglichkeit gibt, sich auszudrücken$\sin{\alpha}$ in Gedenken an $ds$.

Verstehe ich das falsch? Danke

Answer 1

Sie haben keine Vektornotationen verwendet, daher scheint es ziemlich schrecklich zu sein. Auch du hast verwendet$M$ für Drehmoment (sollte es sein $\tau$) anstatt für magnetische Momente (die allgemein akzeptierte Symbole sind).

Beweis:

Eine kreisförmige Schleife liegt in $x-y$ Flugzeug mit Raduis $r$ und Zentrum am Ursprung $O$. Es führt einen konstanten Strom gegen den Uhrzeigersinn. Es gibt ein gleichmäßiges Magnetfeld$\vec B$ entlang positiv gerichtet $x$-Achse.

Betrachten Sie ein Element $d\vec s$ auf dem Ring in einem Winkel $\theta$ einen Winkel einschließen $d\theta$am Ursprung. Das Drehmoment an diesem Element ist gegeben durch

$$\begin{align}d\tau&=\vec r\times d\vec F=\vec r\times(Id\vec s\times\vec B)\\ &=I(r\cos\theta\ \hat i+r\sin\theta\ \hat j)\times\bigg((-rd\theta\sin\theta\ \hat i+rd\theta\cos\theta\ \hat j)\times(B_0\ \hat i)\bigg)\\ \tau&=I\bigg(\int_0^{2\pi}B_0r^2\cos^2\theta\ d\theta\ (\hat j)-\int_0^{2\pi}B_0r^2\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ (\hat i)\bigg)\\ &=I(\pi r^2)B_0\ \hat j=(I\pi r^2\ \hat k)(B_0\ \hat i)\\ &=\vec M\times\vec B \end{align}$$

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Hinweis: Ich habe den Berechnungsteil übersprungen. Auch können Sie auch nehmen$\vec B=B_x\ \hat i+B_y\ \hat j +B_z\ \hat k$Ich habe nur genommen $x$-Komponente der Einfachheit halber. Das Ergebnis wird gleich bleiben. Gleiches gilt für die Form des Leiters, egal ob quadratisch oder kreisförmig.

Answer 2

Ich habe dies gelöst, indem ich erkannt habe, dass ds tatsächlich ist $2r\cdot sin(d\alpha/2)\cdot sin(\alpha)$ durch die Längenakkordformel.

Kurz gesagt, indem man tatsächlich schreibt $d\vec{s}\times \vec{B}$ bezüglich $\alpha$.