Interpretation komplexer trilinearer Koordinaten
Der Punkt $X_{5374}$ in der Encyclopedia of Triangle Centers hat trilineare Koordinaten $$\sqrt{\cot A}:\sqrt{\cot B}:\sqrt{\cot C}$$Wenn das Referenzdreieck stumpf ist, wird eine (und nur eine) dieser Koordinaten zu einer nicht reellen komplexen Zahl, indem die Quadratwurzel einer negativen Zahl gezogen wird. Es gibt einige andere ETC-Punkte, die komplexe Koordinaten haben können, wie z$X_{5000}$;; das neue Dreieckszentrum, nach dem ich mit Trilinearen gefragt habe$\frac1{\sqrt{a\cos A}}:\frac1{\sqrt{b\cos B}}:\frac1{\sqrt{c\cos C}}$ fällt in die gleiche Kategorie.
Trilineare Koordinaten sind per Definition das Verhältnis der gerichteten Abstände von einem Punkt zu den Dreieckskanten. Diese Interpretation funktioniert jedoch nur, wenn alle Koordinaten real sind. Wenn ein Punkt komplexe trilineare Koordinaten hat, wie kann ich ihn interpretieren? Eine geometrische Interpretation wäre bevorzugt.
Antworten
Diese Antwort wird eine kurze und oberflächliche Übersicht über Referenzen mit Interpretationen von "imaginären" Entitäten in der Geometrie sein. Wenn Sie die Geometrie der euklidischen Ebene ausführen, arbeiten Sie implizit in der komplexen euklidischen Ebene. In der realen Ebene schneiden sich eine Linie und ein Kreis möglicherweise nicht, in der komplexen Ebene jedoch. Sie können rein algebraisch arbeiten, aber häufig gibt es geometrische Interpretationen. Zum Beispiel ergibt der Schnittpunkt eines disjunkten Kreises und einer Linie ein konjugiertes Paar imaginärer Punkte, aber die Linie durch sie ist eine "echte" Linie, die tatsächlich die ursprüngliche Linie ist. Die beiden imaginären Schnittpunkte zweier disjunkter Kreise definieren eine reelle Linie, die die Radikalachse der beiden Kreise darstellt (siehe diese Antwort)). Und die vier imaginären Schnittpunkte zweier Kegel definieren zwei Linien, die die Radikalachse verallgemeinern und auch einem entarteten Bleistiftelement entsprechen, das durch die beiden Kegel definiert wird.
Zurück zu den Trilinearen, Kapitel IX der Whitilschen Trilinearen Koordinaten , 1866, behandelt imaginäre Punkte und Linien. Die URL ist mit einem Suchbegriff eingerichtet, mit dem Sie Verweise auf imaginäre Entitäten durchsuchen können.
Synthetische Geometer hatten im 19. Jahrhundert auch Möglichkeiten, das Imaginäre zu interpretieren. Einiges davon geht auf Poncelets "Prinzip der Kontinuität" zurück, in dem argumentiert wurde, dass beispielsweise der Schnittpunkt eines Kegels und einer Linie nicht abrupt verschwand, als sie unzusammenhängend wurden. Beispielsweise bestimmt ein Kegel a auf jeder geraden Linie eine Involution mittels Paaren kollinearer konjugierter Punkte, und wenn die Doppelpunkte dieser Involution real sind, sind sie die Schnittpunkte der Linie und des Kegels. In Analogie dazu repräsentieren Involutionen, bei denen die Doppelpunkte außerhalb der Linie liegen, Paare von imaginären Punkten.
Es scheint, dass von Staudt diese Ideen am weitesten vorangetrieben hat. Weitere Informationen finden Sie in Hattons Theorie des Imaginären in der Geometrie . Auch der letzte Teil von Coolidges Geometrie der komplexen Domäne .
Die Grafiken und Imaginationen von Hamilton und Kettle sind möglicherweise einen Blick wert.
Ich vermute, dass dies Ihre Frage nach der Interpretation einer komplexen trilinearen Koordinate nicht direkt beantwortet, aber diese Texte aus der Vergangenheit geben zumindest eine Vorstellung davon, wie Geometer versucht haben, mit Imaginären zu arbeiten. Es war eine beeindruckende Leistung, herauszufinden, wie man es in der synthetischen Geometrie macht, aber wahrscheinlich weniger fruchtbar als analytische Methoden, um voranzukommen. Dies ist also vielleicht ein fast vergessener Zweig der Mathematik.