Intuitive Erklärung, warum "Schattenoperator" $\frac D{e^D-1}$ verbindet Logarithmen mit trigonometrischen Funktionen?
Betrachten Sie den Operator $\frac D{e^D-1}$ was wir "Schatten" nennen werden:
$$\frac {D}{e^D-1}f(x)=\frac1{2 \pi }\int_{-\infty }^{+\infty } e^{-iwx}\frac{-iw}{e^{-i w}-1}\int_{-\infty }^{+\infty } e^{i t w} f(t) \, dt \, dw$$
Die Integrale sollten hier als Fourier-Transformationen verstanden werden.
Nun, intuitiv, warum das Folgende?
$$\left.\frac {D_x}{e^{D_x}-1} \left[\frac1\pi\ln \left(\frac{x+1/2 +\frac{z}{\pi }}{x+1/2 -\frac{z}{\pi }}\right)\right]\right|_{x=0}=\tan z$$
Es gibt andere Beispiele, bei denen Schatten trigonometrische Funktionen in inverse trigonometrische, Logarithmen in Exponenten usw. umwandelt:
$$\left.\frac {D_x}{e^{D_x}-1} \left[\frac1{\pi }\ln \left(\frac{x+1-\frac{z}{\pi }}{x+\frac{z}{\pi }}\right)\right]\right|_{x=0}=\cot z$$
Antworten
Dies ist im Grunde eine leicht transformierte Version von Eulers kotangender Teilfraktionsexpansion $$ \pi \cot(\pi z) = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{z-n} + \frac{1}{z+n}$$ (das logarithmische Derivat seiner berühmten Sinusproduktformel $\frac{\sin \pi z}{\pi z} = \prod_{n=1}^\infty \big(1-\frac{z^2}{n^2}\big)$). Durch Teleskopreihen kann man dies umschreiben als$$ \pi \cot(\pi z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z-n-1} + \frac{1}{z+n}.$$ Nach Taylors Theorem $e^{nD_x}$ ist die Operation der Übersetzung von $n$, so formal durch geometrische Reihen haben wir $$ \left.\frac{1}{1-e^{D_x}} f\, \right|_{x=0} = \sum_{n=0}^\infty \left.e^{nD_x} f\right|_{x=0} = \sum_{n=0}^\infty f(n)$$ (was übrigens hilft, die Euler-Maclaurin-Formel zu erklären) und so $$ \pi \cot(\pi z) = \left.\frac{1}{1-e^{D_x}} \left(\frac{1}{z-x-1} + \frac{1}{z+x}\right) \right|_{x=0}$$ oder gleichwertig $$ \pi \cot(\pi z) = - \left.\frac{D_x}{1-e^{D_x}} \ln \frac{x+z}{x+1-z} \right|_{x=0}.$$ Dies gibt Ihre Identität nach einigen einfachen Neuanordnungen (und Ersetzungen) $z$ mit entweder $z/\pi$ oder $z/\pi + 1/2$).
Der Hauptgrund für Eulers Teilfraktionsidentität ist, dass die Pole und Reste der Kotangensfunktion leicht identifiziert und berechnet werden können. Der Grund, warum sie zu einem Ausdruck zusammengefasst werden können, an dem der Summationsoperator beteiligt ist$\frac{1}{1-e^{D_x}}$ist, dass diese Pole und Reste eine Translationsinvarianz aufweisen, die letztendlich von der Periodizität der Kotangensfunktion herrührt. Ich würde mir vorstellen, dass es ähnliche Identitäten für die Weierstraße gibt$\wp$ Funktion, die bei sehr spezifischem Polverhalten doppelt periodisch ist.
Die Operation $$T_x = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} = e^{b.D_x},$$
wo $(b.)^n = b_n$sind die Bernoulli-Zahlen, wird (Mod-Zeichen) oft als Todd-Operator bezeichnet (möglicherweise ursprünglich von Hirzebruch benannt, der ihn zur Konstruktion seiner Todd-Charakteristikklasse verwendete).
Es hat eine diskretisierende (oder abgeleitete) Eigenschaft, die auf die folgenden nützlichen Arten ausgedrückt werden kann
$$f(x) = T_x T_x^{-1} f(x) = \frac{D}{e^D-1} \frac{e^D-1}{D} f(x) = T_x \int_{x}^{x+1} f(t) dt$$
$$ = e^{b.D} \;\int_{x}^{x+1} f(t) dt = \int_{b.+x}^{b.+x+1} f(t) dt =\int_{B.(x)}^{B.(x)+1} f(t) dt$$
$$ = F(B.(x)+1) - F(B.(x)) = F(B.(x+1)) - F(B.(x)) = D_x \; F(x),$$
wo
$$B_n(x) = (b.+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \; b_n \; x^{n-k}$$
sind die berühmten Appell Bernoulli-Polynome mit dem egf $e^{B.(x)t}= e^{(b.+x)t} = \frac{t}{e^t-1}e^{xt}$, und $F(x)$ ist das unbestimmte Integral / Primitiv von $f(x)$. Die letzte Gleichheit veranschaulicht die Ableitungseigenschaft der Bernoulli-Polynome und definiert sie vollständig.
Dies führt zu
$$\sum_{k=0}^n f(x+k) = T \; \int_{x}^{x+n+1} f(t) dt $$
$$ = e^{b.D} \; \int_{x}^{x+n+1} f(t) dt = \int_{B.(x)}^{B.(x+n+1)} f(t) dt$$
$$ = F(B.(x+n+1)) - F(B.(x)),$$
und insbesondere die Reihe von Beziehungen
$$\sum_{k=0}^n (x+k)^s =T_x \; \int_{x}^{x+n+1} t^{s} dt $$
$$= e^{b.D} \int_{x}^{x+n+1} t^{s} dt = \int_{B.(x)}^{B.(x+n+1)} t^s dt$$
$$ = T_x \; \frac{(x+n+1+)^{s+1} -x^{s+1}}{s+1} = e^{b.D} \frac{(x+n+1+)^{s+1} -x^{s+1}}{s+1}$$
$$ = \frac{(B.(x+1+n))^{s+1} -(B.(x))^{s+1}}{s+1} = \frac{B_{s+1}(x+1+n) - B_{s+1}(x)}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n \frac{B_{s+1}(x+1+k) - B_{s+1}(x+k)}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n \frac{(B.(x+1+k))^{s+1} - (B.(x+k))^{s+1}}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n D_x \; \frac{(x+k)^{s+1}}{s+1}.$$
Wenn Sie das Limit angemessen nehmen $s \to -1$Wenn Sie zu einer Beziehung zum natürlichen Logarithmus gelangen, können Sie zusammen mit den Reihenerweiterungen der Triggerfunktionen in Terry Taos Antwort Ihre speziellen Formeln herausarbeiten.
Für eine differenziertere veranschaulichende Anwendung der Diskretisierungsformel siehe Gl. 1, "die Khovanskii-Pukhlikov-Formel, das kombinatorische Gegenstück zur Hirzebruch-Riemann-Roch-Formel (HRR) für eine glatte torische Sorte X mit einem sehr großen Teiler D ..." auf Seite 2 der "$T_y$- Operator für Integrale über Gitterpolytopen "von Goda, Kamimura und Ohmoto.
Beachten Sie auch die inverse Umbralsequenz zu den Bernoulli-Polynomen, den Appell-Potenzpolynomen
$$\hat{B}_n(x) = \frac{(x+1)^{n+1}-x^{n+1}}{n+1},$$
mit der .egf $\frac{e^t-1}{t}\; e^{xt}$wird auch durch die Umkehrung der Umbralkomposition definiert
$$B_n(\hat{B}.(x)) = x^n = \hat{B}_n(B.(x)),$$
so die
- Ableitungseigenschaft der Appell-Bernoulli-Polynome
$$ \frac{(B_.(x)+1)^{n+1}}{n+1} - \frac{(B.(x))^{n+1}}{n+1} = \frac{(b.+x+1)^{n+1} - (b.+x)^{n+1}}{n+1}$$
$$ = \frac{B_{n+1}(x+1) - B_{n+1}(x)}{n+1} = \hat{B}_n(B.(x)) = x^n = D \; \frac{x^{n+1}}{n+1},$$
- reziproke Beziehung der definierenden egfs der Momente des inversen Paares von Appell-Polynomsequenzen
$$B(t) =e^{b.t}= \frac{t}{e^t-1},$$
$$\hat{B}(t) = e^{\hat{b}.t}=\frac{e^t-1}{t}, $$
- Reziprozität der Dual Ops
$$T= B(D) = \frac{D}{e^D-1} = e^{b.D},$$
$$T^{-1}= \hat{B}(D) = \frac{e^D-1}{D} = e^{\hat{b}.D},$$
- duale Polynom erzeugende Eigenschaften der Operationen
$$T \; x^n = \frac{D}{e^D-1} \; x^n = e^{b.D} \; x^n = (b. + x)^n = B_n(x), $$
$$ T^{-1} \; x^n = \frac{e^D-1}{D} \; x^n = e^{\hat{b.}D} x^n = (\hat{b.}+x)^n = \hat{B}_n(x),$$
- inverse Beziehung der Umbralkomposition der dualen Sätze von Polynomen
$$ B_n(\hat{B}.(x)) = T^{-1} \; T \; x^n = x^n = T \; T^{-1} \; x^n = \hat{B}_n(B.(x)),$$
- und die diskretisierende Eigenschaft des Todd-Betreibers
$$ x^n = T \; T^{-1} x^n = T \; \int_{x}^{x+1} t^n \; dt$$
$$ = T \frac{(x+1)^{n+1} - x^{n+1}}{n+1}$$
$$ =\frac{(B.(x)+1)^{n+1} -(B.(x))^{n+1}}{n+1} = \hat{B}_n(B.(x))$$
sind alle eng (und produktiv) miteinander verbunden, verschiedene Facetten einer Appell-Dualität und können über die Mellin-Transformation verallgemeinert werden.
Dies ist nicht die ganze Geschichte - die Beziehungen gehen noch tiefer durch eine Weyl-Algebra, Graves / Lie / Pincherle-Kommutator und Leiteroperationen -, aber diese Perspektive führt bereits zu fruchtbaren weiteren Erkundungen. Zum Beispiel erhalten wir, um im Limit als zu booten$n \to +\infty$ für die diskretisierende Summe fungiert eine modifizierte Hurwitz-Zeta-Funktion als Verallgemeinerung (Interpolation) der Bernoulli-Polynome,
$$ B_{-s}(x) = s \; \zeta(s+1,x),$$
welches die Eigenschaften einer Appell-Folge von Polynomen erbt.
Die 'Schatten'-Gleichung ist etwas restriktiv, da sie die FT von annimmt $f(x)$existiert, was keine notwendige Voraussetzung für die Anwendung der diskretisierenden Eigenschaft ist; Beachten Sie beispielsweise die ähnliche Laplace-Transformations- Abel-Plana-Formel .
Mit einer anderen Normalisierung für die FT,
$$FT(f(x)) = \tilde{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i 2\pi \omega x} f(x) \; dx,$$
und
$$f(b.+x) = e^{b.D_x} f(x) = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} \; f(x) = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} FT^{-1}[\tilde{f}(\omega)]$$
$$ = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} \; \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi \omega x} FT[f(x)] \; d\omega = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi \omega x} \frac{i 2\pi \omega}{e^{i 2\pi \omega}-1} FT[f(x)] \; d\omega. $$
Die Charakterisierung der Aktion des Todd-Operators mithilfe der Mellin-Transformationsinterpolation a la Ramanujan / Hardy bietet einen alternativen, konstruktiven Weg zur Hurwitz-Zeta-Funktion:
$$ B_{-s}(z) = (B.(z))^{-s} = (b.+z)^{-s} = e^{b.D_z} \; z^{-s}$$
$$ = e^{b.D_z} \int_{0}^{\infty} e^{-zt} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt$$
$$ = \int_{0}^{\infty} e^{-(b.+z)t} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt$$
$$ =\int_{0}^{\infty} e^{-B.(z)t} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt $$
$$ = \int_{0}^{\infty} \frac{-t}{e^{-t}-1} \; e^{-zt} \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt = s \; \zeta(s+1,z).$$
Eine Serienerweiterung für die Appell Bernoulli-Funktion für alle realen oder komplexen $s$ und real oder komplex $z$ mit $|z-1| < 1$ ist durch die binomale Binärexpansion gegeben
$$s \; \zeta(s+1,z) = B_{-s}(z)$$
$$ = (b.+z)^{-s} = (b. + 1 - 1 + z)^{-s} = (B.(1)+z-1)^{-s}$$
$$ = \sum_{n \geq 0} \binom{-s}{n} B_{-s-n}(1) \; (z-1)^n = \sum_{n \geq 0} \binom{-s}{n} (s+n) \; \zeta(s+n+1) \; (z-1)^n$$
wo
$$(b.+1)^{-s} = (B.(1))^{-s} = B_{-s}(1) = s \; \zeta(s+1,1) = s \; \zeta(s+1)$$
mit $\zeta(s)$, die Riemannsche Zeta-Funktion.