"Invers" $N$-Körperproblem [geschlossen]

Dec 01 2020

Es gibt eine bekannte $N$-Körperproblem in der klassischen Mechanik: Gegeben sind Ausgangspositionen und Geschwindigkeiten von $N$ Teilchen in einem bestimmten Raum beschreiben ihre Dynamik über ein bestimmtes Zeitintervall.

Ich interessiere mich für irgendeine Form von "inversem" Problem: Nehmen wir an, wir wissen, dass es solche gibt $(N+1)$Partikel in einem Raum. Wir erhalten die Flugbahnen von$N$dieser Partikel über ein Zeitintervall. Das Problem besteht darin, die Flugbahn des wiederherzustellen$(N+1)$-th Partikel im gleichen Zeitintervall.

Das zugrunde liegende Kraftfeld wird als bekannt angenommen. Zum Beispiel können wir annehmen, dass jedes Teilchenpaar nach dem inversen Quadratgesetz angezogen wird.

Was ist ein korrekter allgemein akzeptierter Name für dieses Problem? Ist dieses Problem in der Literatur beschrieben?

Antworten

3 atarasenko Dec 01 2020 at 07:14

Wenn das System isoliert ist, bewegt sich der Schwerpunkt dieses Systems mit einer konstanten Geschwindigkeit (normalerweise Null) $\mathbf{v}_c$:: $$ \sum_{i=1}^{N+1}m_i\mathbf{r}_i(t)=M \mathbf{r}_c(t)=M(\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_c t) $$ Wenn $\mathbf{r}_i(t)$ sind für alle bekannt $i=1,\ldots,N$, dann $\mathbf{r}_{N+1}(t)$kann aus dieser Gleichung erhalten werden: \ begin {Gleichung} \ tag {1} \ mathbf {r} _ {N + 1} (t) = \ frac {1} {m_ {N + 1}} \ left (M ( \ mathbf {r} _0 + \ mathbf {v} _c t) - \ sum_ {i = 1} ^ {N} m_i \ mathbf {r} _i (t) \ right) \ end {Gleichung} Diese Gleichung enthält 2 unbekannte Parameter : Ausgangsposition des Schwerpunkts$\mathbf{r}_0$ und seine Geschwindigkeit $\mathbf{v}_c$. Diese Parameter können (vermutlich) erhalten werden, indem verlangt wird, dass die Bewegungsgleichungen gelten (da das Gesetz der Wechselwirkung bekannt ist).

AKTUALISIEREN:

Erhalten $\mathbf{r}_0$ und $\mathbf{v}_c$ aus den Bewegungsgleichungen:

Angenommen, die potentielle Energie ist: $U=\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=i+1}^{N+1}U(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)$. Dann lautet die Bewegungsgleichung für jedes Teilchen: $$ m_i\mathbf{\ddot{r}}_i=-\sum_{k=1}^{N+1}U'(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|} $$ Für das erste Teilchen: $$\tag{2} m_1\mathbf{\ddot{r}}_1=-\sum_{k=1}^{N}U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|}-U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}}{|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{N+1}|} $$ Einsetzen der Lösung (1) in Gleichung (2) und Einstellen $t=0$ führt zu einer Gleichung für $\mathbf{r}_0$. Natürlich kann die Gleichung nichtlinear sein und mehrere Lösungen haben.

Nach $\mathbf{r}_0$ gefunden, $\mathbf{v}_c$ kann aus der gleichen Gleichung (2) für erhalten werden $t>0$.