Ist $(4+\sqrt{5})$ ein Hauptideal von $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$?

Question

Betrachten Sie die integrale Domäne $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. Ist$(4+\sqrt{5})$ ein Hauptideal von $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$?

Ich kenne die folgenden elementaren Fakten. Wir haben \ begin {Gleichung} \ mathbb {Z} \ left [\ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ right] = \ left \ {\ frac {m + n \ sqrt {5}} { 2}: m, n \ in \ mathbb {Z} \ text {sind beide gerade oder beide ungerade} \ right \}. \ end {Gleichung}

Für jeden $\frac{m + n \sqrt{5}}{2} \in \mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$Definieren Sie die Norm wie gewohnt: \ begin {Gleichung} N \ left (\ frac {m + n \ sqrt {5}} {2} \ right) = \ frac {m ^ 2-5n ^ 2} {4}. \ end {Gleichung} Seit$m, n$Sind beide gerade oder beide ungerade, ist es leicht zu erkennen, dass die Norm eine ganze Zahl ist. Aus dieser Tatsache ist das leicht ersichtlich$\frac{m + n \sqrt{5}}{2}$ ist eine Einheit von $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ dann und nur dann, wenn $m^2 - 5n^2=4$ oder $m^2 - 5n^2=-4$. Jetzt seit$N(4+\sqrt{5})=11$ das bekommen wir leicht $4+\sqrt{5}$ ist ein irreduzibles Element von $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. Wenn$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ waren eine einzigartige Faktorisierungsdomäne, konnten wir daraus schließen $(4+\sqrt{5})$ ein Hauptideal von $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. Aber ich weiß nicht ob$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ist eine einzigartige Faktorisierungsdomäne. Weiß jemand, ob es ist?

Vielen Dank im Voraus für Ihre Aufmerksamkeit.

Answer 1

Anruf $A = \mathbb Z \left[ \frac{1 + \sqrt 5}2\right]$. Das können wir zeigen$A / (4+\sqrt 5) \cong \mathbb Z/11 \mathbb Z$, so dass das Ideal $(4 + \sqrt 5)$ ist maximal.

1. Wie $N(4 + \sqrt 5) = 11$Es ist klar, dass die Elemente $0, 1, \ldots, 10$ sind paarweise inkongruent modulo $4 + \sqrt 5$.

2. Jedes Element von $A$ ist kongruent zu einem Integer-Modulo $4 + \sqrt 5$: in der Tat, wenn es von der Form ist $a + b \sqrt 5$ mit $a, b \in \mathbb Z$ wir können ein geeignetes ganzzahliges Vielfaches von subtrahieren $4 + \sqrt5$ landen in $\mathbb Z$. Wenn es von der Form ist$(a+b\sqrt5)/2$ mit $a, b$ seltsam, wir können subtrahieren $$\frac{1 + \sqrt5}2 \cdot (4 + \sqrt5) = \frac{9 + 5\sqrt5}2$$ landen in $\mathbb Z + \mathbb Z\sqrt5$.

Betrachten Sie den Ringhomomorphismus $$\mathbb Z / (11) \to A / (4+\sqrt5) \,.$$ Nach der ersten Beobachtung ist es injektiv. Im zweiten Fall ist es surjektiv.

Answer 2

Das Zahlenfeld $K=\Bbb Q(\sqrt{5})$ hat Klasse Nummer eins, weil seine Minkowski-Bindung erfüllt $B_K<2$. Daher sein Ring von ganzen Zahlen$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ ist sogar eine PID und damit eine UFD.

Auf der anderen Seite ist es genug, das zu sehen $\mathcal{O}_K/(4+\sqrt{5})$ ist ein Feld, so dass das Ideal $(4+\sqrt{5})$ ist Prime.

Answer 3

Ja, $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$ist eine UFD, weil sie norm-euklidisch ist .