Ist $(4+\sqrt{5})$ ein Hauptideal von $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$?

Nov 26 2020

Betrachten Sie die integrale Domäne $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$. Ist$(4+\sqrt{5})$ ein Hauptideal von $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$?

Ich kenne die Antwort nicht, daher ist jede Hilfe willkommen.

Beachten Sie, dass $4+\sqrt{5}$ ist ein irreduzibles Element von $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$, seit seiner Norm $N(4+\sqrt{5})=11$ ist eine Primzahl (hier wie gewohnt $N(a+b\sqrt{5})=a^2-5b^2$ für jeden $a, b \in \mathbb{Z}$). Jedenfalls$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ ist keine eindeutige Faktorisierungsdomäne, wie aus den folgenden Faktorisierungen leicht ersichtlich ist $4=2 \cdot 2 = (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$. Die Frage ist also nicht so trivial, zumindest für mich!

Antworten

5 AtticusStonestrom Nov 26 2020 at 23:08

Beachten Sie, dass $11=(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})\in\langle 4+\sqrt{5}\rangle$und so haben wir die Kette der Isomorphismen $$\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5}\rangle}=\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5},11\rangle}\cong\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle t^2-5,4+t,11\rangle}.$$ Ebenfalls, $t^2-5=11-(4-t)(4+t)$woher $\langle t^2-5,4+t,11\rangle=\langle 4+t,11\rangle$und damit der obige Ring $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]\big/\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ ist in der Tat isomorph zu $$\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle 4+t,11\rangle}\cong\frac{(\mathbb{Z}\big/11)[t]}{\langle \bar{4}+t\rangle}.$$ Jetzt, $\mathbb{Z}\big/11$ ist ein Feld, also $(\mathbb{Z}/11)[t]$ ist eine ideale Hauptdomäne und klar $\bar{4}+t$ ist irreduzibel - also prime - in $(\mathbb{Z}/11)[t]$. Dies bedeutet, dass der obige Ring eine Domäne ist, und so weiter$\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ ist in der Tat ein Hauptideal von $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$.