Ist die Anzahl der Knotenstränge eine Invariante?

Dec 30 2020

Frage: Hängt die Anzahl der Komponenten in einem Knotenwerk von der jeweiligen planaren Einbettung ab?

  • Ich habe untersucht, wie die Anzahl der Komponenten ("separate Stränge") in einem keltischen Knoten basierend auf der zugrunde liegenden planaren Graphenstruktur berechnet werden kann. (Siehe Beziehung zwischen Knoten / Verbindungen und planaren Graphen hier ).

  • Anscheinend ist die Berechnung für allgemeine Graphen etwas kompliziert; In der Referenz in dieser Frage wird beispielsweise darauf hingewiesen, dass es sich um eine Uniform handelt$m\times n$ Gitter der Quadrate, die Anzahl der Komponenten ist $\mathrm{lcd}(m,n)$.

  • Es würde mich befriedigen, eine Formel zur Berechnung der Anzahl der Komponenten ("Stränge") oder eine Beziehung zwischen der Anzahl der Stränge und verschiedenen Grapheneigenschaften wie Grad, Spektrum usw. zu finden, selbst wenn diese Eigenschaften schwer zu berechnen wären .

  • Ein Ansatz, den ich gewählt habe, betrifft verbundene Komponenten: Jeder einzelne Strang folgt einer bestimmten Trajektorie, und die verbundenen Komponenten dieser Trajektorien entsprechen genau den Strängen. Sie können die Trajektorie als Übergangsfunktionszuordnung (einige zusätzliche Struktur plus) jeder Kante zu ihrem Nachfolger definieren. Dies ist eine Permutation an (strukturierten) Kanten, deren Zyklen die Komponenten sind.

  • Die Übergangsfunktion kann als eigener, abgeleiteter, gerichteter Graph (ähnlich einer graphcodierten Karte ) codiert werden , dessen verbundene Komponenten die Komponenten des Knotenwerks sind. Aus der linearen Algebra wissen wir, dass die Anzahl der verbundenen Komponenten als Multiplizität des Null-Eigenwerts des Laplace-Werts der Adjazenzmatrix wiederhergestellt werden kann.

Ich weiß jedoch, dass das gleiche Diagramm $G$kann mehrere nicht-isomorphe planare Einbettungen haben (dh deren Duale nicht-isomorph sind). Bisher hat dies meiner Erfahrung nach einige der Knoteneigenschaften (wie die Anzahl der Drehungen in jeder Komponente) geändert, nicht jedoch die Anzahl der Komponenten:

Meine Frage lautet:

Frage: Hängt die Anzahl der Komponenten in einem Knotenwerk von der jeweiligen planaren Einbettung ab? Wie beweisen wir das?

Meine Intuition besagt, dass die Anzahl der Komponenten eine Invariante ist, aber ich konnte mit meinem obigen Ansatz kein Gegenbeispiel oder keinen Beweis erstellen.


Vermutung: Wenn $G$ ist ein Graph, dann hat der entsprechende Knoten $c$ Komponenten, wo

$$T_G(-1,-1) = (-1)^{|E(G)|}\cdot (-2)^{c - 1}$$

und $T_G$ ist das Tutte-Polynom und $|E(G)|$ist die Anzahl der Kanten im Diagramm. (?)

Antworten

2 AdamLowrance Jan 01 2021 at 09:04

Lassen $D$sei das Diagramm eines Links. Beispielsweise,$D$könnte das Diagramm des keltischen Knotens oder Links sein, das in Ihrem Beitrag abgebildet ist. Lassen$G$ sei das Schachbrettdiagramm von $D$. Der Graph$G$ ist das in Ihrem ersten Aufzählungspunkt beschriebene Diagramm.

Antwort: Die Anzahl der Komponenten von$D$ wird durch den abstrakten Graphen bestimmt $G$ und hängt nicht davon ab, wie $G$ ist in die Ebene eingebettet.

Nach meinem besten Wissen wurde dies erstmals 1979 von Michel Las Vergnas bewiesen. Er zeigte, dass die Anzahl der Komponenten von $D$ wird durch die Tutte-Polynomauswertung bestimmt $T_G(-1,-1)$. Da das Tutte-Polynom nicht von einer bestimmten Einbettung von abhängt$G$folgt das Ergebnis. Die Referenz für dieses Papier ist

  • Las Vergnas, Michel. Auf Eulerschen Partitionen von Graphen . Graphentheorie und Kombinatorik (Proc. Conf., Open Univ., Milton Keynes, 1978), S. 62–75, Res. Notizen in Math., 34, Pitman, Boston, Mass.-London, 1979.

Ich konnte eine Kopie des obigen Papiers nicht leicht finden, daher gibt es aufgrund von Dan Silver und Susan Williams (arXiv- Link ) eine andere Möglichkeit, die Lösung zu finden . Sie definieren eine Matrix$Q_2(G)$ deren Einträge im Feld mit zwei Elementen sind $\mathbb{F}_2$folgendermaßen. Sowohl die Zeilen als auch die Spalten der Matrix werden durch die Eckpunkte indiziert$v_1,\dots,v_n$ von $G$. Wenn$i\neq j$, dann ist die $ij$ Eintrag von $Q_2(G)$ ist die Anzahl der Kanten zwischen Eckpunkten $v_i$ und $v_j$ (genommen$\mod 2$). Das$ii$ Eintrag von $Q_2(G)$ ist die Summe der anderen Einträge in der Zeile $i$ (wieder genommen$\mod 2$). Gleichermaßen könnten wir das sagen$ii$ Eintrag in $Q_2(G)$ ist die Summe der anderen Einträge in der Spalte $i$.

In Satz 1.1 des verlinkten Papiers beweisen sie, dass die Anzahl der Komponenten von $D$ entspricht der Nichtigkeit von $Q_2(G)$. Sie bemerken in Bemerkung 1.2, dass dies die Anzahl der Komponenten von impliziert$D$ ist unabhängig von der Ebeneneinbettung von $G$.

Bearbeiten: Ich habe keinen Zugriff auf das Papier von Las Vergnas, aber ich kann das Ergebnis mit dem Tutte-Polynom und dem Jones-Polynom noch einmal erklären.

Lassen $L$ sei ein alternierender Link, lass $D$ sei ein abwechselndes Diagramm der Verbindung, und lass $G$ sei das Schachbrettdiagramm von $D$. Dann das Tutte-Polynom$T_G(x,y)$ von $G$ und das Jones-Polynom $V_L(t)$ von $L$ sind wie folgt verwandt: $$V_L(t) = f_D(t) T_G(-t,-t^{-1})$$ für die Funktion $f_D(T)$ definiert von $$f_D(t) = (-1)^{w(D)}t^{\frac{1}{4}(|E| - 2(|V|-1)+3w(D))}$$ wo $w(D)$ ist die Wendung von $D$, $|E|$ ist die Anzahl der Kanten in $G$, und $|V|$ ist die Anzahl der Eckpunkte von $D$. Beachte das$|f_D(1)|=1$, und somit $|V_L(1)| = |T_G(-1,-1)|$.

Das Jones-Polynom erfüllt die Strangbeziehung $$(t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})V_{L_0}(t) = t^{-1}V_{L_+}(t) - tV_{L_-}(t)$$ wo $L_+,L_-,$ und $L_0$ sind wie unten.

Rahmen $t=1$ in der obigen Strangbeziehung ergibt sich $V_{L_+}(1)=V_{L_-}(1)$. Mit anderen Worten, das Jones-Polynom wurde bei bewertet$t=1$ ändert sich nicht unter Kreuzungsänderungen, und somit $V_L(1)=V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)$ wo $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ ist die triviale Verbindung mit der gleichen Anzahl von Komponenten wie $L$. Das Jones-Polynom von$\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ ist $V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(t) = (-t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})^{m-1}$ wo $m$ ist die Anzahl der Komponenten von $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$. So$$|T_G(-1,-1)|=|V_L(1)|=|V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)| = 2^{m-1}.$$

Der obige Fall behandelt wann $L$wechselt. Wenn$L$wechselt nicht, dann verfahren Sie wie folgt. Lassen$D$ sei ein beliebiges Diagramm von $L$. Definieren$D_{\text{alt}}$ ein Diagramm mit dem gleichen Schatten sein wie $D$ aber deren Kreuzungen werden geändert, um sich abzuwechseln und zu definieren $L_{\text{alt}}$ der Link sein, dessen Diagramm ist $D_{\text{alt}}$. Beachten Sie, dass$D$ und $D_{\text{alt}}$ haben das gleiche Schachbrettdiagramm $G$. Das obige Argument impliziert dies$|T_G(-1,-1)|=2^{m-1}$ wo $m$ ist die Anzahl der Komponenten von $L_{\text{alt}}$. Schon seit$L_{\text{alt}}$ und $L$ haben die gleiche Anzahl von Komponenten, das Ergebnis folgt für $L$ auch.