Ist es möglich, eine Bijektion von nichtnegativen zu positiven Zahlen zu definieren? [Duplikat]

Question

Lassen $\mathbb{R}_{\geq 0}$ sei die Menge der nichtnegativen Zahlen und $\mathbb{R}_{>0}$ die Menge der positiven Zahlen, das heißt

$$ \mathbb{R}_{\geq 0} = \{\,x \geq 0 \mid x \in \mathbb{R} \,\} $$

und

$$ \mathbb{R}_{> 0} = \{\,x > 0 \mid x \in \mathbb{R} \,\} $$

Ist es möglich, eine Bijektion zu definieren? $f$ zwischen diesen beiden Sätzen?

Answer 1

Ja natürlich. Ordnen Sie zunächst jede Zahl, die keine nicht negative Ganzzahl ist, sich selbst zu. Ordnen Sie dann jede nicht negative ganze Zahl n n + 1 zu.

Answer 2

Sie können auch jeden nehmen $[n,n+1)$ Intervall und ordnen Sie es in $(n,n+1]$ indem man es reflektiert.

Die Idee hier ist Mapping $[0,\infty)$ in $(0,\infty]$ über $\frac{1}{x}$, aber wir können es nur tun, wenn das rechte Extrem des zweiten Intervalls enthalten ist. Zum Glück können wir abdecken$\mathbb{R}$ mit Intervallen solcher Form.

Answer 3

Na sicher. Sei f von der Menge mit 0 zur Menge ohne 0:

f (x) = x, wenn x keine ganze Zahl ist;

f (0) = 1

f (1) = 2

f (2) = 3

usw.

Answer 4

Sie haben die gleiche Kardinalität, so dass eine Bijektion besteht. Sie haben in einem Kommentar erwähnt, dass Sie auch an einer Funktion interessiert sind, die keine Fixpunkte hat. Sie können die Antwort von roddick anpassen, indem Sie einfach die Intervalle verwechseln. Zum Beispiel könnten Sie senden$[0,1)$ zu $(10,11]$, $[1,2)$ zu $(11,12]$, $[2,3)$ zu $(0,1]$, und so weiter.