Ist jedes Element von $\mathbb{R}$ ein Mitglied von $\mathbb{Q}$ mit endlich vielen Mitgliedern seiner Transzendenzbasis verbunden?
Vor kurzem war ich daran interessiert, etwas unkonstruktive Lösungen für Probleme zu entwickeln, die das Konzept einer Transzendenzbasis von verwenden$\mathbb{R}$ Über $\mathbb{Q}$, das unter der Annahme des Axioms der Wahl existiert, aber ich kenne nur einige grundlegende Feldtheorien. Im Rahmen meines zunehmenden Verständnisses frage ich:
Lassen $W$ sei die Transzendenzbasis für $\mathbb{R}$ Über $\mathbb{Q}$. Ist es wahr dass$$\mathbb{R} = \bigcup_{w\subset W, \;w \text{ finite}}\mathbb{Q}(w)$$? Was ist, wenn wir "endlich" durch "zählbar" ersetzen?
Antworten
Vielleicht fehlt mir etwas, aber ich zitiere zum Beispiel aus diesem MSE-Beitrag :
ein Satz $T$ von Elementen eines Erweiterungsfeldes $k/F$ist eine Transzendenzbasis, wenn
- für alle $n$und verschieden $t_{1}, \dots, t_{n} \in T$gibt es kein Polynom ungleich Null $f(X_1,\dots,X_n)\in F[X_1,\dots,X_n]$ so dass $f(t_1,\dots,t_n)=0$;;
- $k$ ist algebraisch vorbei $F(T)$.
Also ein Element wie $\sqrt{2}$ wird in keinem von Ihnen sein $\mathbb{Q}(w)$.
Bearbeiten . Diese Antwort ist falsch. Ich habe "Transzendenzbasis" als "Vektorraumbasis" gelesen. Ich denke, die Antwort von @AndreasCaranti ist richtig. Ich werde meine verlassen, damit niemand den gleichen Fehler macht.
Ja, da jedes Element von $\mathbb{R}$ ist eine endliche $\mathbb{Q}$-lineare Kombination von Basiselementen. Das heißt, es liegt in der Vereinigung der entsprechenden Erweiterungen.