Ist „produktiv = Dimension $\omega$”Für berechenbare Strukturen?
In Analogie zur Terminologie für Mengen wird eine (zählbare, berechenbare Sprache) Struktur angegeben$\mathfrak{A}$ist produktiv, wenn es eine berechenbare Möglichkeit gibt, eine berechenbare Liste berechenbarer Isomorphismustypen berechenbarer Kopien von ordnungsgemäß zu erweitern$\mathfrak{A}$. Das ist,$\mathfrak{A}$ ist produktiv, wenn es eine teilweise berechenbare Funktion gibt $F$ so dass für alle $a,b$::
Wenn $W_a=\overline{W_b}$und jedes Element von $W_a$ ist ein Index für eine berechenbare Kopie von $\mathfrak{A}$, dann $F(a,b)$ ist definiert und ist ein Index für eine berechenbare Kopie von $\mathfrak{A}$ nicht rechnerisch isomorph zu einer der Kopien mit Indizes in $W_a$.
(Das "$W_a=\overline{W_b}$"-bit sagt das nur $W_a$ ist in der Tat eine berechenbare, nicht nur ce, Reihe von Namen für Kopien von $\mathfrak{A}$und wir geben dieses Set an $F$ als berechenbare Menge statt als ce-Menge.)
Denken Sie daran, dass die berechenbare Dimension einer Struktur die Anzahl der berechenbaren Kopien ist, die sie bis zum Isomorphismus hat. Offensichtlich muss jede produktive Struktur eine berechenbare Kopie haben (take$W_a=\emptyset$) und muss eine berechenbare Dimension haben $\omega$ (iterieren $F$passend). Das Gegenteil ist mir jedoch nicht klar. Meine Frage ist:
Ist jede berechenbare Struktur mit berechenbarer Dimension $\omega$ produktiv?
Alle "natürlichen" Beispiele, die ich mir vorstellen kann, werden leicht als produktiv angesehen, aber ich sehe hier kein allgemein anwendbares Prinzip. Es gibt verschiedene Ergebnisse in der Literatur mit ähnlichem "Geschmack" wie Montalbans Arbeit über das Kopieren / Diagonalisieren von Spielen, aber keine, die mir bekannt ist, scheint direkt anwendbar zu sein.
Mein Verdacht ist, dass die Antwort auf diese Frage in dem Sinne "fragil" ist, dass es eine berechenbare Struktur mit unendlicher berechenbarer Dimension gibt, die nicht produktiv ist, aber dass jede Struktur entweder auf einem Kegel rechnerisch kategorisch oder auf einem Kegel "produktiv" ist. im entsprechenden Sinne; Dies ist motiviert durch (allgemeine Perversität und) die Kombination von Goncharovs Theorem, dass es berechenbare Strukturen mit berechenbarer Dimension gibt, die genau dazwischen liegen$1$ und $\omega$und McCoys Theorem, dass jede Struktur entweder auf einem Kegel rechnerisch kategorisch ist oder eine berechenbare Dimension hat $\omega$ auf einem Kegel.
Antworten
Die Antwort auf Ihre erste Antwort lautet nein.
Meine Antwort basiert auf einer Konstruktion von mir, aber es kann einen einfacheren Ansatz geben. Darin nehmen Sie einen berechenbaren Baum auf$\omega^{<\omega}$ und erhalten a $\Delta^0_3$Transformation des Baumes und eine rechnerisch kategoriale Struktur, so dass nichttriviale Automorphismen der Struktur im Grunde Pfade durch den transformierten Baum sind. Wenn Ihr Startbaum keine hat$\Delta^0_3$Pfade, und Sie markieren dann ein bestimmtes Element der Struktur mit einer Konstanten. Die Kopien des modulo-berechenbaren Isomorphismus der erweiterten Struktur entsprechen endlichen Teilmengen erweiterbarer Knoten der Höhe 1 im Baum. Wenn Sie eine produktive Funktion hätten, wie Sie sie beschreiben, könnten Sie eine unendliche Menge erweiterbarer Knoten auflisten (im transformierten Baum, von dem aus Sie über a zum ursprünglichen Baum zurückkehren könnten$\Delta^0_3$Karte). Wenn Sie also mit einem Baum mit unendlich vielen erweiterbaren Knoten der Höhe 1 beginnen, aber nein$\Delta^0_3$ Satz von ihnen hätte es Dimension $\omega$ aber nicht produktiv sein.
Ich teile Ihre Intuition, dass dieses Verhalten auf einem Kegel verschwinden sollte.