Itos Lemma-Notation 2. Ordnung.

Question

Ich habe hier eine Notationsfrage.

In der einfachsten Form von Itos Lemma haben wir dies

$ df(Y_t) = f'(Y_t) dY_t + \frac{1}{2} f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$

Ich weiß, wie man das berechnet $ d\langle Y \rangle_t $ Begriff, aber ich möchte immer fragen

• Wie heißt der Begriff und was genau bedeutet er?
• warum ist es so speziell geschrieben, aber nicht benutzt $ Cov() $, oder $ Var() $?

Konzeptionell ist das für mich die Varianz des Prozesses, aber ich verstehe die Notation einfach nicht. Warum der Index$ t $ wird außerhalb der platziert $ \langle \cdot \rangle $.

Kann ich es wie folgt schreiben?

$ \langle dY_t \rangle $

$ d \langle Y_t \rangle $

Wenn es sich um zwei Prozesse handelt, sollte es nach dem Muster so geschrieben werden $ d\langle X, Y \rangle_t $, aber kann ich es so schreiben?

$ \langle dX_t, dY_t \rangle $

$ d\langle X_t, Y_t \rangle $

Kann ich es auch in integraler Form schreiben? Wo soll ich das hinstellen?$ t $ wenn ich es in integraler Form schreibe?

Vielen Dank

Answer 1

Lang- / Kurznotation:

Ich persönlich fand die Kurznotation immer verwirrend und versuche bis heute, sie nach Möglichkeit zu vermeiden. Im Folgenden werde ich versuchen zu demonstrieren, warum es verwirrend ist und zu häufig gemachten Fehlern führt.

In der "Langhand" -Notation ein Ito-Prozess $X_t$ ist wie folgt definiert:

$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h) dW_h $$

Über, $a(X_t,t)$ und $b(X_t,t)$ sind einige quadratisch integrierbare Prozesse.

Es ist erwähnenswert, dass die quadratische Variation von$X_t$ wäre dann:

$$\left<X\right>_t=\int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h)^2dh $$

(Dies folgt aus der Definition der quadratischen Variation für stochastische Prozesse, siehe Bearbeiten am Ende dieses Beitrags.)

Nun können wir in Kurzschreibweise die Gleichung für schreiben $X_t$ oben als:

$$dX_t=a(X_t,t) dt + b(X_t,t) dW_t$$

Erstens, was bedeutet die Kurzschreibweise wirklich? Wir könnten definieren$\delta X_t$ wie folgt:

$$\delta X_t:=X_t-X_0=\int_{h=0}^{h=\delta t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=\delta t}b(X_h,h) dW_h$$

Und dann $dX_t$ könnte (intuitiv, nicht rigoros) wie folgt verstanden werden:

$$\lim_{\delta t \to 0} \delta X_t = dX_t$$

Aber ich denke, es ist am besten, nur die Kurzschreibweise für das zu verstehen, was sie wirklich ist: dh eine Kurzschreibweise für die stochastischen Integrale.

Itos Lemma:

Nun stellt Itos Lemma fest, dass für einen solchen Ito-Prozess $X_t$jede doppelt differenzierbare Funktion $F()$ von $X_t$ und $t$ würde die folgende Gleichung befolgen:

$$F(X_t,t)=F(X_0,t_0)+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial X}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}b(X_h,h)\right)dW_h$$

Oben können Sie den Begriff " quadratische Variation " erkennen:

$$\int_{h=0}^{h=t}0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}b(X_h,h)^2 dh$$

(was in "Kurzschrift" geschrieben werden könnte als $0.5F''(X_t)d\left<X\right>_t$dh genau das gleiche wie deins $0.5f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$Ich benutze nur $F$ Anstatt von $f$ und $X_t$ Anstatt von $Y_t$: Auch hier finde ich die Kurzhand viel weniger intuitiv als die Langhandnotation, selbst nach Jahren des Herumspielens mit Ito-Prozessen.

Warum nicht die Kurznotation verwenden?

Jetzt möchte ich ein Beispiel zeigen, warum ich denke, dass die Kurzschreibweise sehr verwirrend sein kann: Gehen wir zum Ornstein-Uhlenbeck-Prozess (unten, $\mu$, $\theta$ und $\sigma$ sind konstante Parameter):

$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\theta(\mu- X_h)dh + \int_{h=0}^{h=t}\sigma dW_h $$

Wir haben $a(X_t,t)=\theta(\mu- X_h)$ und $b(X_t,t) = \sigma$.

Der Trick, um das oben genannte zu lösen, besteht darin, Itos Lemma anzuwenden $F(X_t,t):=X_t e^{\theta t}$, was gibt:

$$X_te^{\theta t}=F(X_0,t_0)_{=X_0}+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}_{=\theta X_h e^{\theta h}}+\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}_{=0}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}b(X_h,h)\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(\theta X_h e^{\theta h}+e^{\theta h}\theta(\mu- X_h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h$$

Nun, um die Lösung für zu bekommen $X_t$Der letzte Schritt besteht einfach darin, beide Seiten durch zu teilen $e^{\theta t}$, um die zu isolieren $X_t$ Begriff auf der LHS, der gibt:

$$X_t=X_0e^{-\theta t}+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta(h-t)}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\sigma e^{\theta(h-t)} dW_h$$

Ich habe viele Leute gesehen, die versucht haben, den Ornstein-Uhlenbeck zu lösen, indem sie alles mit der "Kurzhand" -Notation geschrieben haben, und im letzten Schritt, wenn wir uns durch teilen $e^{\theta t}$Ich habe Leute gesehen, die die Begriffe "aufgehoben" haben, als die normalerweise geschrieben würden $e^{\theta h}$ innerhalb der Integrale: weil die Kurznotation nicht zwischen einer Integrations-Dummy-Variablen unterscheidet (dh "$h$") und was bereits integriert wurde"$t$".

Zusammenfassend würde ich nicht empfehlen, die Kurzhandnotation für SDEs zu verwenden, und wenn Sie darauf stoßen, würde ich dazu ermutigen, sie in das zu übersetzen, was sie wirklich bedeutet (dh die Langhandnotation): zumindest für mich Es hat die Dinge viel einfacher zu verstehen gemacht.

Bearbeiten der quadratischen Variation : Die quadratische Variation für stochastische Prozesse wird als Wahrscheinlichkeitsgrenze definiert, da die Maschengröße immer feiner wird, insbesondere für eine Brownsche Bewegung, die wir schreiben könnten$\forall \epsilon > 0$::

$$\left<W\right>_t:=\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\left|\sum_{i=1}^{i=n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2-t\right|>\epsilon\right)=0$$

Dh die Wahrscheinlichkeit, dass die quadratische Variation konvergiert $t$geht auf 1, wenn die Maschengröße unendlich fein wird (der Beweis ist eher technisch, siehe zum Beispiel hier , wo sie tatsächlich fast sicher Konvergenz zu beweisen scheinen (was Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit impliziert)).

Beachten Sie, dass wir dann einfach schreiben können:

$$t=\int_{h=0}^{h=t}dh$$ und erhalten dadurch die bekannte Formel:

$$ \left< W \right>_t=\int_{h=0}^{h=t}dh=t$$