K-Theorie Beweis des Indexsatzes - einige geringfügige Verwirrung
Ich versuche die allgemeine Herangehensweise an das zu verstehen $K$-Theoretischer Beweis des Atiyah-Singer-Indexsatzes unter Verwendung dieses https://arxiv.org/pdf/math/0504555.pdfPapier. Ich bin auf Seite 29 auf Verwirrung gestoßen, wo Folgendes angegeben ist:
"Es bleibt nur zu zeigen, dass der analytische Index mit dem Thom-Isomorphismus pendelt $\phi:K(X)\to K(V)$ wo $V$ ist ein komplexes Vektorbündel über $X$. [...] Dieses Problem wird erheblich vereinfacht, wenn wir triviale Bündel betrachten, die als Produkt ausgedrückt werden können$V = X \times\mathbb{R}^n$. "
Auf derselben Seite wird ein Vektorbündel betrachtet $Y$ das scheint das zugehörige Bündel eines Prinzipals zu sein $G$-bundle, aber der Autor überlegt noch einmal $P\times_{O(n)} \mathbb{R}^n$das heißt, ein echtes Vektorbündel. Ich verstehe nicht ganz, wie sinnvoll dies ist, wenn wir etwas für komplexe Vektorbündel beweisen wollen. Ich verstehe, dass wir ein komplexes Vektorbündel als echtes Vektorbündel betrachten können, indem wir nur die komplexe Struktur "vergessen", aber da der Thom-Isomorphismus (zumindest in der Veröffentlichung) nur für komplexe Vektorbündel definiert ist, denke ich, dass ich vermisse etwas Wichtigeres. Ich kann es nicht genau sagen. Wenn also jemand die Konstruktion auf Seite 29 erklären könnte, wäre das sehr dankbar.
Antworten
Denken Sie daran, wenn $X$ und $Y$ Es sind kompakte glatte Verteiler und $i\colon X\hookrightarrow Y$ und ist eine reibungslose Einbettung, wir wollen eine "Kreischkarte" definieren:
$$i_!\colon K_c(TX)\to K_c(TY),$$ wo $K_c$ ist $K$-Theorie mit kompakten Stützen.
Der erste Schritt (vgl. S. 16 des Artikels von G. Landweber oder S. 497-8 des ursprünglichen M. Atiyah und I. Singers The Index of Elliptic Operators: I ) besteht darin, eine röhrenförmige Nachbarschaft zu nehmen$N\subseteq Y$ von $X$. Sie können es mit dem normalen Bundle identifizieren$N\to X$, was natürlich ein echtes Vektorbündel ist $X$. Beobachten Sie das jetzt$Ti\colon TX\to TY$ ist eine Einbettung und das $TN$ ist die röhrenförmige Nachbarschaft von $TX$. Mit anderen Worten:$TN\to TX$ ist ein echtes Vektorbündel.
Aber wir können noch mehr sagen. Es stellt sich heraus, dass wenn$\pi\colon TX\to X$der Vorsprung ist, dann$TN\simeq \pi^*(N\oplus N)$. Wie$N\oplus N\to X$kann als komplexes Vektorbündel behandelt werden (nämlich$N\otimes_\mathbb R \mathbb C)$, Wir schließen daraus $TN\to TX$kann auch als komplexes Vektorbündel behandelt werden . Insbesondere ist es sinnvoll, den Thom-Homomorphismus zu berücksichtigen$K_c(TX)\to K_c(TN)$.
Das Exzisionsaxiom erlaubt es uns, den "analytischen Index" für zu definieren $N$ als Karte $K_c(TN)\to \mathbb Z$. (Beachten Sie, dass dieser "analytische Index" über Einbettungen in kompakte Verteiler definiert wird, sodass seine Bedeutung anders ist als im kompakten Fall.) Wir wollen zeigen, dass dieser analytische Index mit dem oben definierten Thom-Homomorphismus pendelt. Dazu beobachten wir das$N$, wie ein normales Bündel vorbei $X$kann geschrieben werden als $P\times_{O(n)} \mathbb R^n$, wo $P$ ist ein Auftraggeber $O(n)$-bundle und $X=P/O(n)$. Dann verwendet man das multiplikative Axiom des analytischen Index. (Dies ist der am weitesten fortgeschrittene Teil des Beweises und motiviert tatsächlich die Verwendung von Äquivarianten$K$-Theorie in diesem Fall. jedoch, wenn$N$ ist ein triviales Bündel, $O(n)$ kann durch die triviale Gruppe ersetzt werden $1$und die Äquivarianz wird nicht benötigt. Ebenso für orientierbar$X$Es reicht aus, die Gruppe zu berücksichtigen $SO(n)$, was den Beweis etwas vereinfacht).
Es scheint, dass diese Konstruktion für reale Vektorbündel gemacht wurde, da jedes komplexe Vektorbündel beim Verwerfen der komplexen Struktur als reales Vektorbündel betrachtet werden kann. Ich habe einige Probleme, dies zu rechtfertigen, da wir die komplexe Struktur für den Thom-Isomorphismus erneut hinzufügen müssen, und ich würde gerne hören, warum wir sie nicht verwenden$U(n)$-vector Bündel stattdessen, da $U(n)$ist auch eine kompakte Lie-Gruppe. Können wir auf diese Weise kein komplexes Vektorbündel bilden, wie wir ein reales Vektorbündel als zugehöriges Bündel eines Hauptbündels bilden können?